4.4 Vecteurs d’état
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4.3 VECTEURS D’ÉTAT
4.3.1 Réalisation −|n
Nous admettrons que le système de vecteurs propres de l’hamiltonien H constitue une base {|n} de l’espace E x des vecteurs d’état de l’oscillateur harmonique.
Ceci peut être démontré à partir des expressions explicites des fonctions d’onde que
nous calculerons par la suite. L’hamiltonien H est donc une observable et, comme le
spectre n’est pas dégénéré, H forme à lui seul un SCOC.
Nous avons vu que des applications successives de A
† à un vecteur propre de N
permettent d’obtenir une suite de vecteurs propres associés à des valeurs propres qui
augmentent d’une unité à chaque application. La relation (4.2.20) nous donne :
A
†
|n − 1 =
√
n|n
(4.3.1)
On peut donc obtenir tous les vecteurs |n à partir de l’état fondamental |0, soit, en
itérant la formule précédente :
|n =
1
√
n!
(A
† )
n
|0
(4.3.2)
4.3.2 Matrices des opérateurs
Calculons, sur la base {|n}, les éléments matriciels des opérateurs utilisés précédemment. La relation (4.3.1) a été obtenue en supposant que les vecteurs |n sont
normalisés ; on obtient alors pour les éléments matriciels de A
† :
p|A
†
|n =
√
n + 1d p, n+1
(4.3.3)
De même, la relation (4.2.17) nous donne :
p|A|n =
√
nd p, n−1
(4.3.4)
Les opérateurs X et P x sont obtenus à partir des définitions (4.2.4) des opérateurs A
et A
† . On obtient :
X =
2mv
(A + A
† ) ; P x = i
m v
2
(A
†
− A)
( 4 .3.5)
Les éléments matriciels s’obtiennent immédiatement à partir de (4.3.3) et (4.3.4) :
p|X|n =
2mv
√
n + 1d p, n+1 +
√
nd p, n−1
(4.3.6)
p|P x |n = i
m v
2
√
n + 1 d p, n+1 −
√
n d p, n−1
(4.3.7)
Les matrices représentant X et P x sont toutes deux hermitiennes puisque ces deux
opérateurs sont eux-mêmes hermitiens.
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4.3 VECTEURS D’ÉTAT
4.3.1 Réalisation −|n
Nous admettrons que le système de vecteurs propres de l’hamiltonien H constitue une base {|n} de l’espace E x des vecteurs d’état de l’oscillateur harmonique.
Ceci peut être démontré à partir des expressions explicites des fonctions d’onde que
nous calculerons par la suite. L’hamiltonien H est donc une observable et, comme le
spectre n’est pas dégénéré, H forme à lui seul un SCOC.
Nous avons vu que des applications successives de A
† à un vecteur propre de N
permettent d’obtenir une suite de vecteurs propres associés à des valeurs propres qui
augmentent d’une unité à chaque application. La relation (4.2.20) nous donne :
A
†
|n − 1 =
√
n|n
(4.3.1)
On peut donc obtenir tous les vecteurs |n à partir de l’état fondamental |0, soit, en
itérant la formule précédente :
|n =
1
√
n!
(A
† )
n
|0
(4.3.2)
4.3.2 Matrices des opérateurs
Calculons, sur la base {|n}, les éléments matriciels des opérateurs utilisés précédemment. La relation (4.3.1) a été obtenue en supposant que les vecteurs |n sont
normalisés ; on obtient alors pour les éléments matriciels de A
† :
p|A
†
|n =
√
n + 1d p, n+1
(4.3.3)
De même, la relation (4.2.17) nous donne :
p|A|n =
√
nd p, n−1
(4.3.4)
Les opérateurs X et P x sont obtenus à partir des définitions (4.2.4) des opérateurs A
et A
† . On obtient :
X =
2mv
(A + A
† ) ; P x = i
m v
2
(A
†
− A)
( 4 .3.5)
Les éléments matriciels s’obtiennent immédiatement à partir de (4.3.3) et (4.3.4) :
p|X|n =
2mv
√
n + 1d p, n+1 +
√
nd p, n−1
(4.3.6)
p|P x |n = i
m v
2
√
n + 1 d p, n+1 −
√
n d p, n−1
(4.3.7)
Les matrices représentant X et P x sont toutes deux hermitiennes puisque ces deux
opérateurs sont eux-mêmes hermitiens.