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4 • Oscillateur harmonique
a) Action de l’opérateur A
†
Montrons que les vecteurs A
†
|n sont toujours différents de zéro quel que soit n. Pour
cela, calculons le carré de la norme de A
†
|n, soit :
A
†
|n
2 = A
† n | A
† n = n|AA
† n
(4.2.24)
Utilisons la relation de commutation (4.2.8) : AA
† = A
† A + 1 1 ; il vient :
n|AA
† n = n|A
† An + n | n = A|n
2 + |n
2 > 0
( 4 .2.25)
La quantité précédente est strictement positive pour tout vecteur |n = 0. Par suite,
si |0 existe, il en est de même pour tous les vecteurs A
†
|n.
b) Valeurs propres de l’hamiltonien
Puisque H 1 = N + 1/2, les vecteurs propres de N sont également ceux de H 1 et les
valeurs propres de H 1 sont égales à n + 1/2. D’autre part, H = vH 1 ; les valeurs
propres de H, c’est-à-dire les niveaux d’énergie de l’oscillateur harmonique, sont
données par :
E n = v
n +
1
2
; n = 0, 1, 2, 3, . . .
(4.2.26)
Le nombre n est appelé nombre quantique de l’oscillateur harmonique. Ainsi que
prévu, on obtient un spectre discret et les niveaux d’énergie sont positifs. Le niveau
le plus bas, ou niveau fondamental, est égal à :
E 0 =
v
2
(4.2.27)
On remarque que même dans son état de plus basse énergie, l’oscillateur harmonique
est animé d’une certaine vibration. On retrouve la prévision faite précédemment que
l’énergie ne peut être nulle ainsi qu’il résulte de l’inégalité de Heisenberg.
4.2.4 Opérateurs de création et d’annihilation
On peut donner une interprétation physique des opérateurs A et A
† , en étudiant le
résultat de l’action de ces opérateurs sur les niveaux d’énergie de l’oscillateur.
L’application de A
† sur un état |n d’énergie E n le fait passer sur l’état |n + 1
d’énergie E n+1 . On peut dire que l’opérateur A
† « crée » une quantité d’énergie
v = E n+1 − E n , d’où son appellation d’opérateur de création.
L’opérateur A fait au contraire passer le système d’un état E n à un état E n−1 et
« détruit » ainsi un quantum d’énergie v ; A est appelé opérateur d’annihilation.
Ces opérateurs jouent un rôle extrêmement important en théorie quantique des
champs, permettant de décrire la création ou l’annihilation de particules, ce qu’on
observe expérimentalement pour divers systèmes quantiques.
4 • Oscillateur harmonique
a) Action de l’opérateur A
†
Montrons que les vecteurs A
†
|n sont toujours différents de zéro quel que soit n. Pour
cela, calculons le carré de la norme de A
†
|n, soit :
A
†
|n
2 = A
† n | A
† n = n|AA
† n
(4.2.24)
Utilisons la relation de commutation (4.2.8) : AA
† = A
† A + 1 1 ; il vient :
n|AA
† n = n|A
† An + n | n = A|n
2 + |n
2 > 0
( 4 .2.25)
La quantité précédente est strictement positive pour tout vecteur |n = 0. Par suite,
si |0 existe, il en est de même pour tous les vecteurs A
†
|n.
b) Valeurs propres de l’hamiltonien
Puisque H 1 = N + 1/2, les vecteurs propres de N sont également ceux de H 1 et les
valeurs propres de H 1 sont égales à n + 1/2. D’autre part, H = vH 1 ; les valeurs
propres de H, c’est-à-dire les niveaux d’énergie de l’oscillateur harmonique, sont
données par :
E n = v
n +
1
2
; n = 0, 1, 2, 3, . . .
(4.2.26)
Le nombre n est appelé nombre quantique de l’oscillateur harmonique. Ainsi que
prévu, on obtient un spectre discret et les niveaux d’énergie sont positifs. Le niveau
le plus bas, ou niveau fondamental, est égal à :
E 0 =
v
2
(4.2.27)
On remarque que même dans son état de plus basse énergie, l’oscillateur harmonique
est animé d’une certaine vibration. On retrouve la prévision faite précédemment que
l’énergie ne peut être nulle ainsi qu’il résulte de l’inégalité de Heisenberg.
4.2.4 Opérateurs de création et d’annihilation
On peut donner une interprétation physique des opérateurs A et A
† , en étudiant le
résultat de l’action de ces opérateurs sur les niveaux d’énergie de l’oscillateur.
L’application de A
† sur un état |n d’énergie E n le fait passer sur l’état |n + 1
d’énergie E n+1 . On peut dire que l’opérateur A
† « crée » une quantité d’énergie
v = E n+1 − E n , d’où son appellation d’opérateur de création.
L’opérateur A fait au contraire passer le système d’un état E n à un état E n−1 et
« détruit » ainsi un quantum d’énergie v ; A est appelé opérateur d’annihilation.
Ces opérateurs jouent un rôle extrêmement important en théorie quantique des
champs, permettant de décrire la création ou l’annihilation de particules, ce qu’on
observe expérimentalement pour divers systèmes quantiques.