4.2 Niveaux d’énergie
83
Des vecteurs propres successifs de N peuvent alors être obtenus en appliquant plusieurs fois l’opérateur A sur un vecteur |n. À chaque application de A, la valeur
propre associée diminue d’une unité.
b) Action de A
† sur les vecteurs propres de N
Montrons que l’application de A † à un vecteur |n permet également d’obtenir des
vecteurs propres de N mais pour des valeurs propres qui augmentent à chaque application de A
† d’une unité. En effet, selon (4.2.9) :
[N, A
† ]|n = NA
†
|n − A
† N|n = A
†
|n
(4.2.18)
Puisque |n est vecteur propre de N, l’équation (4.2.18) nous donne :
NA
†
|n = (n + 1)A
†
|n
(4.2.19)
Cette relation montre que A
†
|n est vecteur propre de N, et un calcul analogue à celui
effectué pour l’action de A nous donne, avec un choix identique de phase :
A
†
|n =
√
n + 1|n + 1
(4.2.20)
Des applications successives de A
† à un vecteur propre de N permettent d’obtenir une
suite de vecteurs propres de N associés à des valeurs propres qui augmentent d’une
unité à chaque application de A
† .
4.2.3 Spectre des valeurs propres
La relation (4.2.13) : NA|n = (n − 1)A|n est vérifiée lorsque A|n est un vecteur
propre de N mais également lorsque A|n = 0, où 0 est le vecteur nul.
Compte tenu de (4.2.11), la norme de A|n est égale à
√
n puisque les vecteurs |n
sont normés ; si le vecteur A|n est le vecteur nul, sa norme est nécessairement nulle
et on a : n = 0. Cette valeur est la valeur propre minimale puisque, selon (4.2.11) :
n 0
( 4 .2.21)
Le vecteur propre de N, associée à la valeur propre zéro, est noté |0 et on a :
A|0 = 0
( 4 .2.22)
Par applications successives de l’opérateur A
† au vecteur |0, on obtient tous les
vecteurs propres |n de l’opérateur N. Puisque les valeurs propres augmentent d’une
unité, à partir de zéro, à chaque application de A
† , les valeurs propres de N sont donc
les entiers successifs :
n = 0, 1, 2, 3, . . .
(4.2.23)
Implicitement, nous avons supposé que le vecteur |0 existe, mais nous verrons que
cette hypothèse est réaliste puisque nous obtiendrons aisément la représentation −|r
du vecteur |0.
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Des vecteurs propres successifs de N peuvent alors être obtenus en appliquant plusieurs fois l’opérateur A sur un vecteur |n. À chaque application de A, la valeur
propre associée diminue d’une unité.
b) Action de A
† sur les vecteurs propres de N
Montrons que l’application de A † à un vecteur |n permet également d’obtenir des
vecteurs propres de N mais pour des valeurs propres qui augmentent à chaque application de A
† d’une unité. En effet, selon (4.2.9) :
[N, A
† ]|n = NA
†
|n − A
† N|n = A
†
|n
(4.2.18)
Puisque |n est vecteur propre de N, l’équation (4.2.18) nous donne :
NA
†
|n = (n + 1)A
†
|n
(4.2.19)
Cette relation montre que A
†
|n est vecteur propre de N, et un calcul analogue à celui
effectué pour l’action de A nous donne, avec un choix identique de phase :
A
†
|n =
√
n + 1|n + 1
(4.2.20)
Des applications successives de A
† à un vecteur propre de N permettent d’obtenir une
suite de vecteurs propres de N associés à des valeurs propres qui augmentent d’une
unité à chaque application de A
† .
4.2.3 Spectre des valeurs propres
La relation (4.2.13) : NA|n = (n − 1)A|n est vérifiée lorsque A|n est un vecteur
propre de N mais également lorsque A|n = 0, où 0 est le vecteur nul.
Compte tenu de (4.2.11), la norme de A|n est égale à
√
n puisque les vecteurs |n
sont normés ; si le vecteur A|n est le vecteur nul, sa norme est nécessairement nulle
et on a : n = 0. Cette valeur est la valeur propre minimale puisque, selon (4.2.11) :
n 0
( 4 .2.21)
Le vecteur propre de N, associée à la valeur propre zéro, est noté |0 et on a :
A|0 = 0
( 4 .2.22)
Par applications successives de l’opérateur A
† au vecteur |0, on obtient tous les
vecteurs propres |n de l’opérateur N. Puisque les valeurs propres augmentent d’une
unité, à partir de zéro, à chaque application de A
† , les valeurs propres de N sont donc
les entiers successifs :
n = 0, 1, 2, 3, . . .
(4.2.23)
Implicitement, nous avons supposé que le vecteur |0 existe, mais nous verrons que
cette hypothèse est réaliste puisque nous obtiendrons aisément la représentation −|r
du vecteur |0.