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4 • Oscillateur harmonique
4.2.2 Vecteurs propres de N
Puisque le spectre de H est discret, désignons par n les valeurs propres de N et notons
|n ses vecteurs propres orthonormés ; on a ainsi :
N|n = n|n
(4.2.7)
Pour déterminer explicitement les valeurs propres n, nous allons d’abord étudier l’action de l’opérateur A sur un vecteur propre de N. Pour cela, calculons le commutateur
[A, A
† ] qui nous donne, compte tenu de [Q, P] = i :
[A, A
† ] = 1 1
(4.2.8)
Cette dernière relation nous permet d’obtenir aisément les commutateurs suivants :
[N, A
† ] = A
† ; [N, A] = −A
(4.2.9)
Montrons que les valeurs propres n sont positives ou nulles. En effet :
n|N|n = n|A
† A|n = An | An
(4.2.10)
D’autre part, on a : n|N|n = nn | n = n, d’où :
n = An | An = A|n
2
0
( 4 .2.11)
a) Action de A sur les vecteurs propres de N
Montrons que le vecteur A|n est un vecteur propre de N pour la valeur propre (n−1).
Selon (4.2.9), on a :
[N, A]|n = NA|n − AN|n = −A|n
(4.2.12)
Puisque |n est vecteur propre de N, l’équation (4.2.12) nous donne :
NA|n = (n − 1)A|n
(4.2.13)
Cette dernière relation montre que A|n est vecteur propre de N pour la valeur propre
(n − 1). Notons |n − 1 le vecteur propre de N relatif à la valeur propre (n − 1).
Puisque les valeurs propres de H 1 , donc de N, ne sont pas dégénérées, le vecteur
A|n est proportionnel à |n − 1, soit :
A|n = a|n − 1
(4.2.14)
On obtient pour le produit scalaire suivant :
n|A
† A|n = n|N|n = nn | n = aa
∗
n − 1 | n − 1
(4.2.15)
Les vecteurs |n étant tous normalisés, on obtient : aa
∗ = |a|
2 = n, d’où :
|a| =
√
n
(4.2.16)
Puisque les vecteurs d’état sont définis à un facteur de phase près, on peut choisir ce
facteur de sorte que a soit réel, d’où :
A|n =
√
n|n − 1
(4.2.17)