4.2 Niveaux d’énergie
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4.2 NIVEAUX D’ÉNERGIE
4.2.1 Opérateurs
Nous allons chercher les valeurs propres de l’hamiltonien H en utilisant le formalisme des vecteurs d’état. L’opérateur H agissant sur les vecteurs d’état s’obtient en
remplaçant x et p x par les observables X et P x , d’où :
H =
P
2
x
2m
+
1
2
k X
2
(4.2.1)
Afin de simplifier l’expression de H, posons : v =
k/m où v est la pulsation des
oscillations sinusoïdales. D’autre part, introduisons les opérateurs sans dimension
suivants :
Q =
mv
X ; P =
P x
√
m v
; H 1 =
H
v
(4.2.2)
Avec ces notations, l’équation de Schrödinger H|c = E|c s’écrit :
H 1 |c =
1
2
(P
2 + Q
2 )|c =
E
v
|c
(4.2.3)
On obtient une équation qui est sans dimension. La recherche du spectre de H conduit
à définir deux nouveaux opérateurs qui facilitent cette recherche, soit :
A =
1
√
2
(Q + iP) ; A
† =
1
√
2
(Q − iP)
( 4 .2.4)
Remarquons que A n’est pas un opérateur hermitien puisqu’il est différent de son adjoint A
† . Les opérateurs A et A
† sont classiquement notés par des lettres minuscules,
a et a
† , mais nous conserverons ici notre convention de notation des opérateurs par
des majuscules. Effectuons le calcul du produit A
† A ; on obtient, compte tenu de
[Q, P] = i :
A
† A =
1
2
(P
2 + Q
2 ) +
i
2
[Q, P] = H 1 −
1
2
1 1
(4.2.5)
Définissons l’opérateur N par : N = A
† A ; cet opérateur est hermitien puisqu’on a :
N
† = (A
† A)
† = A
† A = N. L’équation (4.2.5) nous donne :
H 1 = N +
1
2
1 1
(4.2.6)
L’hamiltonien H 1 est, à une constante additive près, identique à N. Par suite, ses
vecteurs propres sont les mêmes que ceux de N et ses valeurs propres s’obtiendront
à partir de celles de N en ajoutant 1/2. Nous allons donc chercher le spectre et les
vecteurs propres de N.