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4 • Oscillateur harmonique
de Taylor au voisinage de x = 0 se réduit, au second ordre, à :
V(x) = V(0) +
x
2
2
d
2 V
dx 2
x=0
+ . . . = V(0) +
k
2
x
2 + . . .
(4.1.2)
puisque (dV/dx) x=0 = 0. La force qui dérive du potentiel est donnée, dans l’approximation harmonique, par :
F(x) = −
dV
dx
= −kx
(4.1.3)
Comme V(x) possède un minimum en x = 0, le coefficient k est positif. Par suite, x et
F(x) sont de signe contraire et la force est toujours dirigée vers le point d’équilibre,
ce qui correspond à une position d’équilibre stable.
Lorsque les déplacements autour du point d’équilibre sont suffisamment petits, on
peut négliger les termes d’ordre supérieur à deux dans le développement (4.1.2). Le
potentiel V(x) peut être considéré comme nul au point d’équilibre. On obtient alors
un potentiel correspondant à celui d’un oscillateur harmonique donné par (4.1.1).
4.1.2 Équation de Schrödinger
L’équation de Schrödinger des états stationnaires d’un oscillateur harmonique à une
dimension s’écrit, en réalisation −x :
−
2
2m
d
2
dx 2 +
1
2
k x
2
c(x) = E c(x)
( 4 .1.4)
où m est la masse de la particule oscillante. C’est une équation aux valeurs propres
où l’hamiltonien H a pour expression en réalisation −x :
H = −
2
2m
d
2
dx 2 +
1
2
k x
2
(4.1.5)
Le problème consiste à déterminer les valeurs propres et fonctions propres de H.
À partir de considérations générales, on peut prévoir quelques propriétés des solutions cherchées :
• La particule oscillante devant rester au voisinage de son point d’équilibre, on a
des états liés et, par conséquent, un spectre discret de valeurs propres. Celles-ci ne
sont pas dégénérées car le système n’a qu’un seul degré de liberté.
• L’énergie potentielle étant positive ou nulle en tout point où se trouve la particule, les valeurs propres ne peuvent être que positives. En effet, la valeur E = 0
est exclue par suite de l’inégalité de Heisenberg : Dx · Dp x /2 ; si l’énergie
nulle était autorisée, la particule serait immobile au fond du puits de potentiel, et,
par conséquent sa position et son impulsion seraient bien déterminées, ce qui est
contraire à l’inégalité de Heisenberg.
• L’énergie potentielle étant paire : V(x) = V(−x), les fonctions d’onde ont une
parité définie : elles sont paires ou impaires, car les valeurs propres ne sont pas dégénérées.
4 • Oscillateur harmonique
de Taylor au voisinage de x = 0 se réduit, au second ordre, à :
V(x) = V(0) +
x
2
2
d
2 V
dx 2
x=0
+ . . . = V(0) +
k
2
x
2 + . . .
(4.1.2)
puisque (dV/dx) x=0 = 0. La force qui dérive du potentiel est donnée, dans l’approximation harmonique, par :
F(x) = −
dV
dx
= −kx
(4.1.3)
Comme V(x) possède un minimum en x = 0, le coefficient k est positif. Par suite, x et
F(x) sont de signe contraire et la force est toujours dirigée vers le point d’équilibre,
ce qui correspond à une position d’équilibre stable.
Lorsque les déplacements autour du point d’équilibre sont suffisamment petits, on
peut négliger les termes d’ordre supérieur à deux dans le développement (4.1.2). Le
potentiel V(x) peut être considéré comme nul au point d’équilibre. On obtient alors
un potentiel correspondant à celui d’un oscillateur harmonique donné par (4.1.1).
4.1.2 Équation de Schrödinger
L’équation de Schrödinger des états stationnaires d’un oscillateur harmonique à une
dimension s’écrit, en réalisation −x :
−
2
2m
d
2
dx 2 +
1
2
k x
2
c(x) = E c(x)
( 4 .1.4)
où m est la masse de la particule oscillante. C’est une équation aux valeurs propres
où l’hamiltonien H a pour expression en réalisation −x :
H = −
2
2m
d
2
dx 2 +
1
2
k x
2
(4.1.5)
Le problème consiste à déterminer les valeurs propres et fonctions propres de H.
À partir de considérations générales, on peut prévoir quelques propriétés des solutions cherchées :
• La particule oscillante devant rester au voisinage de son point d’équilibre, on a
des états liés et, par conséquent, un spectre discret de valeurs propres. Celles-ci ne
sont pas dégénérées car le système n’a qu’un seul degré de liberté.
• L’énergie potentielle étant positive ou nulle en tout point où se trouve la particule, les valeurs propres ne peuvent être que positives. En effet, la valeur E = 0
est exclue par suite de l’inégalité de Heisenberg : Dx · Dp x /2 ; si l’énergie
nulle était autorisée, la particule serait immobile au fond du puits de potentiel, et,
par conséquent sa position et son impulsion seraient bien déterminées, ce qui est
contraire à l’inégalité de Heisenberg.
• L’énergie potentielle étant paire : V(x) = V(−x), les fonctions d’onde ont une
parité définie : elles sont paires ou impaires, car les valeurs propres ne sont pas dégénérées.