Chapitre 4
Oscillateur harmonique
4.1 APPROXIMATION HARMONIQUE
4.1.1 L’oscillateur harmonique en physique
L’exemple le plus classique d’un oscillateur harmonique est celui d’une masse m qui
se déplace le long d’une droite Ox, sous l’action d’une force de rappel F = −kx, au
voisinage d’une position d’équilibre stable qu’on peut prendre comme origine. Cette
masse a pour énergie potentielle :
V(x) =
1
2
k x
2
(4.1.1)
De très nombreux systèmes physiques peuvent être assimilés, en première approximation, à de tels oscillateurs harmoniques dits linéaires. C’est le cas, par exemple,
des atomes ou des ions d’un cristal qui peuvent vibrer autour de leur position d’équilibre. Les vibrations des atomes d’une molécule diatomique peuvent aussi être modélisées, en première approximation, par un oscillateur harmonique à une dimension.
L’oscillateur harmonique joue également un rôle important dans la description
d’un ensemble de bosons — particules qu’on définit au cours du chapitre 12 — se
trouvant tous dans le même état quantique. D’autre part, on démontre que le champ
électromagnétique est formellement équivalent à un ensemble d’oscillateurs harmoniques indépendants : c’est la base de la théorie de la quantification du champ. Le
modèle de l’oscillateur harmonique est donc très important en mécanique quantique.
➤ Petites oscillations
De manière générale, considérons un potentiel V(x) qui présente un minimum en un
point qu’on prend pour origine des déplacements. Le développement de V(x) en série
Oscillateur harmonique
4.1 APPROXIMATION HARMONIQUE
4.1.1 L’oscillateur harmonique en physique
L’exemple le plus classique d’un oscillateur harmonique est celui d’une masse m qui
se déplace le long d’une droite Ox, sous l’action d’une force de rappel F = −kx, au
voisinage d’une position d’équilibre stable qu’on peut prendre comme origine. Cette
masse a pour énergie potentielle :
V(x) =
1
2
k x
2
(4.1.1)
De très nombreux systèmes physiques peuvent être assimilés, en première approximation, à de tels oscillateurs harmoniques dits linéaires. C’est le cas, par exemple,
des atomes ou des ions d’un cristal qui peuvent vibrer autour de leur position d’équilibre. Les vibrations des atomes d’une molécule diatomique peuvent aussi être modélisées, en première approximation, par un oscillateur harmonique à une dimension.
L’oscillateur harmonique joue également un rôle important dans la description
d’un ensemble de bosons — particules qu’on définit au cours du chapitre 12 — se
trouvant tous dans le même état quantique. D’autre part, on démontre que le champ
électromagnétique est formellement équivalent à un ensemble d’oscillateurs harmoniques indépendants : c’est la base de la théorie de la quantification du champ. Le
modèle de l’oscillateur harmonique est donc très important en mécanique quantique.
➤ Petites oscillations
De manière générale, considérons un potentiel V(x) qui présente un minimum en un
point qu’on prend pour origine des déplacements. Le développement de V(x) en série