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3 • Formalisme de la mécanique quantique
La valeur propre a est simple et −a est double. Les vecteurs propres de A ont pour composantes :
– pour la valeur propre a :
|f a = (a, 0, 0)
(3)
– pour la valeur propre −a : |f −a = (0, b, g) ; |f
−a = (0, b
, g
)
( 4 )
On vérifie aisément f a |f −a = f a |f
−a = 0.
Les valeurs propres de B sont égales à b et −b. La valeur b est double et −b est simple. Les
vecteurs propres de B ont pour composantes :
– pour la valeur propre b :
|f b = (l, m, m) ; |f
b = (l
, m
, m
)
( 5 )
– pour la valeur propre −b : |f −b = (0, n, −n)
( 6 )
On vérifie également f b |f −b = f
b |f −b = 0.
3. Les seules valeurs des constantes a, b, b
, g, g
, l, l
, m, m
, n permettant de spécifier
trois vecteurs propres de A, dont la forme générale est donnée par les expressions (3) et (4),
identiques à trois vecteurs propres de B et figurant dans les relations (5) et (6), sont :
b = n ; g = −n ; b
= g
= m
; l = a ; m = 0 ; l
= 0
( 7 )
Puisque les vecteurs résultants doivent être normés à l’unité, on en déduit : a = l = 1 ;
n = 1/
√
2 ; m
= 1/
√
2. Il vient :
|f a = |f b = (1, 0, 0)
|f −a = |f −b =
1
√
2
(0, 1, −1)
|f
−a = |f
b =
1
√
2
(0, 1, 1)
(8)
Par hypothèse la base initiale |c 1 , |c 2 , |c 3 est une base canonique, c’est-à-dire de la forme :
|c 1 = (1, 0, 0) ; |c 2 = (0, 1, 0) ; |c 3 = (0, 0, 1)
(9)
La nouvelle base orthonormée constituée de vecteurs propres communs aux matrices A et B
est alors :
|C 1 = |c 1 ; |C 2 =
1
√
2
(|c 2 + |c 3 ) ; |C 3 =
1
√
2
(|c 2 − |c 3 )
(10)