Exercices
77
Le commutateur [X, P x ] est égal à i et le produit scalaire f | f est positif ou nul, d’où :
X
2
− l + l
2
P
2
x 0
( 3 )
On obtient un trinôme du deuxième degré en l qui est toujours positif ou nul. Il en résulte
que ce trinôme possède ou bien deux racines complexes conjuguées, ou bien une racine réelle
double. Par suite, le discriminant du trinôme est négatif ou nul :
2
− 4X
2
P
2
x 0
( 4 )
d’où :
X
2
P
2
x
2 /4
( 5 )
2. Les opérateurs P
x et X
vérifient le commutateur : [X
, P
x ] = i . Les résultats (2) à (5)
sont donc identiques pour ces opérateurs et l’on a :
X
2
P
x
2
2 /4
( 6 )
Les définitions de X
et P
x montrent qu’on a les écarts quadratiques moyens suivants :
DX =
(X − −X) 2 =
X 2 ; DP x =
(P x − −P x ) 2 =
P
x
2
(7)
Les relations (6) et (7) donnent :
DX.DP x /2
( 8 )
Le produit des écarts moyens quadratiques ne peut être inférieur à /2. C’est l’inégalité de
Heisenberg ; elle se généralise pour tous les opérateurs A et B tels que [A, B] = i .
Exercice 3.4. Vecteurs propres communs à deux opérateurs
qui commutent
Deux opérateurs A et B ont pour matrices représentatives sur une base canonique |c 1 , |c 2 , |c 3 de l’espace vectoriel E 3 :
A =
⎡
⎢
⎢
⎣
a 0
0
0 −a 0
0 0 −a
⎤
⎥
⎥
⎦ ; B =
⎡
⎢
⎢
⎣
b 0 0
0 0 b
0 b 0
⎤
⎥
⎥
⎦
(1)
où a et b sont des constantes réelles.
1. Calculer le commutateur [A, B]. Les opérateurs A et B sont-ils hermitiens ?
2. Calculer les valeurs et vecteurs propres de A et B.
3. Déterminer une base de E 3 formée de vecteurs propres communs à A
et B.
Solution.
1. On obtient : [A, B] = 0 ; les opérateurs A et B commutent. Les éléments matriciels a jk de
la matrice A vérifient la relation (2.3.13) : a jk = a
∗
kj ; la matrice A est donc hermitienne et il
en est de même pour B. Les opérateurs A et B sont donc hermitiens.
2. L’équation caractéristique de A s’écrit :
(a − l)(a + l)
2 = 0
( 2 )
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Le commutateur [X, P x ] est égal à i et le produit scalaire f | f est positif ou nul, d’où :
X
2
− l + l
2
P
2
x 0
( 3 )
On obtient un trinôme du deuxième degré en l qui est toujours positif ou nul. Il en résulte
que ce trinôme possède ou bien deux racines complexes conjuguées, ou bien une racine réelle
double. Par suite, le discriminant du trinôme est négatif ou nul :
2
− 4X
2
P
2
x 0
( 4 )
d’où :
X
2
P
2
x
2 /4
( 5 )
2. Les opérateurs P
x et X
vérifient le commutateur : [X
, P
x ] = i . Les résultats (2) à (5)
sont donc identiques pour ces opérateurs et l’on a :
X
2
P
x
2
2 /4
( 6 )
Les définitions de X
et P
x montrent qu’on a les écarts quadratiques moyens suivants :
DX =
(X − −X) 2 =
X 2 ; DP x =
(P x − −P x ) 2 =
P
x
2
(7)
Les relations (6) et (7) donnent :
DX.DP x /2
( 8 )
Le produit des écarts moyens quadratiques ne peut être inférieur à /2. C’est l’inégalité de
Heisenberg ; elle se généralise pour tous les opérateurs A et B tels que [A, B] = i .
Exercice 3.4. Vecteurs propres communs à deux opérateurs
qui commutent
Deux opérateurs A et B ont pour matrices représentatives sur une base canonique |c 1 , |c 2 , |c 3 de l’espace vectoriel E 3 :
A =
⎡
⎢
⎢
⎣
a 0
0
0 −a 0
0 0 −a
⎤
⎥
⎥
⎦ ; B =
⎡
⎢
⎢
⎣
b 0 0
0 0 b
0 b 0
⎤
⎥
⎥
⎦
(1)
où a et b sont des constantes réelles.
1. Calculer le commutateur [A, B]. Les opérateurs A et B sont-ils hermitiens ?
2. Calculer les valeurs et vecteurs propres de A et B.
3. Déterminer une base de E 3 formée de vecteurs propres communs à A
et B.
Solution.
1. On obtient : [A, B] = 0 ; les opérateurs A et B commutent. Les éléments matriciels a jk de
la matrice A vérifient la relation (2.3.13) : a jk = a
∗
kj ; la matrice A est donc hermitienne et il
en est de même pour B. Les opérateurs A et B sont donc hermitiens.
2. L’équation caractéristique de A s’écrit :
(a − l)(a + l)
2 = 0
( 2 )