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3 • Formalisme de la mécanique quantique
En reportant le dernier terme de (3) dans l’intégrale (1), il vient :
c
∗
−i
∂
∂x
c dx =
1
√
2p
p x c
∗ (x) F(p x ) e
ipxx/ dp x dx
(4)
3. Les termes dans l’intégrale double font apparaître la conjuguée de la transformée de
Fourier de c(x), d’où :
c
∗
−i
∂
∂x
c dx =
F
∗ (p x )p x F(p x )dp x
(5)
Comparant cette dernière expression avec la valeur moyenne (2), on voit que l’opérateur
impulsion P x se réduit, dans la réalisation-p x , à la multiplication par p x .
4. À la fonction d’onde p x c = P x c, on associe le vecteur d’état p x |c. L’action de l’opérateur
P x , en réalisation-| p x , sur les kets |c est donc également une multiplication par p x , soit
P x |c = p x |c.
Exercice 3.2. Opérateur X en réalisation-|p x
Déterminer l’action de l’opérateur X en réalisation-| p x .
Solution.
Le principe du calcul est analogue à celui effectué pour l’opérateur P x au cours de l’exercice
3.1. La valeur moyenne de X s’écrit, en réalisation-x :
X =
c
∗ x c dx
(1)
Le calcul de xc(x) s’écrit en remplaçant c(x) par sa transformée de Fourier et en intégrant
par parties :
xc(x) =
1
√
2p
x F(p x ) e
ixpx/ dp x =
1
√
2p
i e
ixpx/ ∂F(p x )
∂p x
dp x
(2)
On trouve que l’action de l’opérateur X en réalisation-| p x sur les vecteurs d’état coïncide
avec celle de l’opérateur i (∂/∂p x ) appliqué aux fonctions F( p x ).
Exercice 3.3. Inégalité position-impulsion de Heisenberg
Soit |f un ket tel que : |f = (X + ilP x )|c, où l est un paramètre réel.
1. Calculer le carré de la norme de |f. En déduire que X
2
P
2
x
2 /4.
2. Soient :
P
x = P x − −P x ; X
= X − −X
(1)
Calculer la valeur minimale du produit des écarts quadratiques moyens des
opérateurs X et P x .
Solution.
1. Le carré de la norme f|f nous donne avec |f = (X + ilP x )|c :
f|f = c|(X − ilP x )(X + ilP x )|c = X
2
+ il[X, P x ] + l
2
P
2
x
(2)