Exercices
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L’écart quadratique moyen, que nous noterons DA, est alors défini par :
DA =
(dA) 2 =
c|(A − −A) 2 |c
(3.5.31)
Une application importante de cette dernière formule est celle où l’on considère les
observables X et P x . On démontre, à titre d’exercice, que le produit des écarts quadratiques moyens DXDP x est tel que :
DXDP x
2
(3.5.32)
On obtient naturellement des expressions analogues pour Y, P y et Z, P z . Ce sont les
trois inégalités de Heisenberg.
EXERCICES
Exercice 3.1. Opérateur impulsion P x en réalisation-|p x
1. On se propose de déterminer l’action de l’opérateur P x en réalisation-p x
sur les fonctions d’onde. Écrire l’expression de la valeur moyenne de P x en
réalisation-x et en réalisation-p x .
2. Calculer la valeur moyenne P x en réalisation-x, en remplaçant la fonction c(x) par sa transformée de Fourier.
3. Par comparaison entre les valeurs moyennes dans les deux réalisations,
en déduire l’expression de l’opérateur P x en réalisation-p x .
4. Déterminer l’action de l’opérateur P x agissant sur les vecteurs d’état, en
réalisation-| p x .
Solution.
1. La valeur moyenne de l’opérateur P x est donnée en réalisation-x, par :
P x =
c
∗
−i
∂
∂x
c dx
(1)
Notons F( p x ) la transformée de Fourier de c(x) ; l’opérateur P x en réalisation-p x doit donner
une valeur moyenne égale à (1), soit :
P x =
F
∗ (p x )p x F(p x )dp x
(2)
2. Remplaçant c(x) par sa transformée de Fourier, il vient :
−i
∂c
∂x
= −i
1
√
2p
∂
∂x
F(p x ) e
ipxx/ dp x
=
1
√
2p
p x F(p x ) e
ipxx/ dp x
(3)