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3 • Formalisme de la mécanique quantique
Prenant le complexe conjugué des termes de cette équation, il vient :
−
2
2m
D + V
c
∗ (r, t) = −i
∂
∂t
c
∗ (r, t)
( 3 .5.23)
Multipliant les termes de (3.5.22) par c
∗ et ceux de (3.5.23) par c, puis retranchant
les deux équations ainsi obtenues, il vient :
i
∂
∂t
c
∗ c =
2
2m
(cDc
∗
− c
∗ Dc)
( 3 .5.24)
Utilisant l’identité (cDc
∗
− c
∗ Dc) = div(c∇c
∗
− c
∗
∇c), l’équation (3.5.24)
devient :
∂
∂t
|c|
2 +
i
2m
div(c∇c
∗
− c
∗
∇c) = 0
( 3 .5.25)
Si c(r, t) est de norme unité, la quantité |c|
2 est la densité de probabilité de présence.
Posons :
r(r, t) = |c|
2 ; j(r, t) =
i
2m
(c∇c
∗
− c
∗
∇c) = Re
c
∗ P
m
c
(3.5.26)
L’équation (3.5.25) s’écrit avec ces notations :
∂
∂t
r(r, t) + div j(r, t) = 0
( 3 .5.27)
Sous cette forme, l’équation (3.5.27) est identique à l’équation classique de continuité dans un fluide de masse volumique r(r, t) et de vecteur densité de courant
j(r, t). On peut alors interpréter la fonction |c(r, t)|
2 comme la densité volumique
d’un « fluide de probabilité » dont la conservation locale est donnée par l’équation
(3.5.27). Le vecteur j(r, t) est appelé la densité du courant de probabilité.
3.5.5 Écart quadratique moyen
Lorsqu’on a une dispersion statistique de données expérimentales x j , on mesure cette
dispersion par l’écart quadratique moyen s, défini par :
s =
(x j − −x) 2
(3.5.28)
où x est la valeur moyenne des grandeurs x j .
Considérons un système quantique dans l’état |c, dont on mesure les valeurs
propres d’un opérateur A. L’opérateur qui va décrire l’écart par rapport à la moyenne,
écart qu’on note dA, est l’opérateur défini par :
dA = A − −A = A − −c|A|c
(3.5.29)
Le carré de l’opérateur dA est donné par : (dA)
2 = (A − −A)
2 . La valeur moyenne
de (dA)
2 s’obtient par :
(dA)
2
= c|(A − −A)
2
|c
(3.5.30)