3.5 Propriétés des observables
73
Les équations (3.5.14) et (3.5.15) constituent le théorème d’Ehrenfest.
➤ Passage de la mécanique quantique à la mécanique classique
Les équations d’Ehrenfest ont une forme qui rappelle les équations classiques de
Hamilton-Jacobi pour une particule :
d
dt
r =
1
m
p ;
d
dt
p = −∇V(r)
( 3 .5.16)
qui, dans ce cas simple, permettent d’obtenir l’équation de Newton :
m
d
2
dt 2 r = −∇V(r)
( 3 .5.17)
Le théorème d’Ehrenfest va permettre de faire le rapprochement entre les mécaniques
quantique et classique. Pour cela, considérons un paquet d’ondes représentant l’onde
associée au corpuscule. Appelons centre du paquet d’ondes, à l’instant t, le point de
coordonnées R(t). L’ensemble de ces points, au cours du temps, constitue la trajectoire suivie par le centre du paquet d’ondes, analogue à la trajectoire de la particule.
Le mouvement de ce centre vérifie-t-il les équations de la mécanique classique ?
Compte tenu des relations (3.5.14) et (3.5.15), on a :
m
d
2
dt 2 R = −−∇V(r)
(3.5.18)
Or la force classique est égale à F = −∇V(r) et, en général :
∇V(r) = ∇V(r)
( 3 .5.19)
En conséquence, on n’a pas, en toute rigueur m(d
2 /dt
2 )R égal à F. Cependant,
∇V(r) devient pratiquement identique à ∇V(r) pour des paquets d’ondes très localisés. En effet :
∇V(r) = c|∇V(r)|c
(3.5.20)
Or, si le paquet d’ondes est très localisé au voisinage de r = r 0 , la fonction d’onde
c(r, t) ne prend de valeurs notables que dans un domaine très petit où ∇V(r) varie
très peu. On peut donc le considérer comme constant dans ce domaine, d’où :
∇V(r) [∇V(r)] r=r0 c|c = [∇V(r)] r=r0
(3.5.21)
La valeur moyenne est alors égale au gradient de V(r), donc à la force F classique.
On peut donc dire que la mécanique quantique rejoint la mécanique classique lorsque
l’on considère certaines conditions limites.
3.5.4 Courant de probabilité
L’équation de Schrödinger d’une particule de masse m dans un potentiel V(r), s’écrit
en réalisation-r :
−
2
2m
D + V
c(r, t) = i
∂
∂t
c(r, t)
( 3 .5.22)
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Les équations (3.5.14) et (3.5.15) constituent le théorème d’Ehrenfest.
➤ Passage de la mécanique quantique à la mécanique classique
Les équations d’Ehrenfest ont une forme qui rappelle les équations classiques de
Hamilton-Jacobi pour une particule :
d
dt
r =
1
m
p ;
d
dt
p = −∇V(r)
( 3 .5.16)
qui, dans ce cas simple, permettent d’obtenir l’équation de Newton :
m
d
2
dt 2 r = −∇V(r)
( 3 .5.17)
Le théorème d’Ehrenfest va permettre de faire le rapprochement entre les mécaniques
quantique et classique. Pour cela, considérons un paquet d’ondes représentant l’onde
associée au corpuscule. Appelons centre du paquet d’ondes, à l’instant t, le point de
coordonnées R(t). L’ensemble de ces points, au cours du temps, constitue la trajectoire suivie par le centre du paquet d’ondes, analogue à la trajectoire de la particule.
Le mouvement de ce centre vérifie-t-il les équations de la mécanique classique ?
Compte tenu des relations (3.5.14) et (3.5.15), on a :
m
d
2
dt 2 R = −−∇V(r)
(3.5.18)
Or la force classique est égale à F = −∇V(r) et, en général :
∇V(r) = ∇V(r)
( 3 .5.19)
En conséquence, on n’a pas, en toute rigueur m(d
2 /dt
2 )R égal à F. Cependant,
∇V(r) devient pratiquement identique à ∇V(r) pour des paquets d’ondes très localisés. En effet :
∇V(r) = c|∇V(r)|c
(3.5.20)
Or, si le paquet d’ondes est très localisé au voisinage de r = r 0 , la fonction d’onde
c(r, t) ne prend de valeurs notables que dans un domaine très petit où ∇V(r) varie
très peu. On peut donc le considérer comme constant dans ce domaine, d’où :
∇V(r) [∇V(r)] r=r0 c|c = [∇V(r)] r=r0
(3.5.21)
La valeur moyenne est alors égale au gradient de V(r), donc à la force F classique.
On peut donc dire que la mécanique quantique rejoint la mécanique classique lorsque
l’on considère certaines conditions limites.
3.5.4 Courant de probabilité
L’équation de Schrödinger d’une particule de masse m dans un potentiel V(r), s’écrit
en réalisation-r :
−
2
2m
D + V
c(r, t) = i
∂
∂t
c(r, t)
( 3 .5.22)