72
3 • Formalisme de la mécanique quantique
l’unité, son état |c(t) conserve à tout instant sa norme, justifiant ainsi la conservation
de la probabilité de présence.
L’équation (3.5.4) s’écrit alors, compte tenu de (3.5.5) et (3.5.6) :
d
dt
A(t) = −
i
c | AH − HA | c + c |
∂A
∂t
| c
(3.5.8)
Les termes de droite de cette dernière équation font apparaître les valeurs moyennes
des opérateurs [A, H] et ∂A/∂t, d’où :
d
dt
A(t) = −
i
[A(t), H] +
∂A
∂t
(3.5.9)
3.5.2 Constante du mouvement
Si A ne dépend pas explicitement du temps, alors ∂A/∂t est nul. La dérivée de la
valeur moyenne donnée par (3.5.9) montre que la dérivée totale de A se réduit alors
à :
d
dt
A(t) = −
i
[A, H]
(3.5.10)
Les grandeurs physiques pour lesquelles on a simultanément :
∂A
∂t
= 0 ; [A, H] = 0
( 3 .5.11)
donnent pour expression de (3.5.9) :
d
dt
A(t) = 0
( 3 .5.12)
Dans ce cas, quel que soit l’état |c du système, la valeur moyenne de A dans cet état
n’évolue pas au cours du temps. Lorsqu’il en est ainsi, on dit que l’observable A est
une constante du mouvement.
En particulier, si le système est conservatif H ne dépend pas de t, et l’hamiltonien
H est lui-même une constante du mouvement.
3.5.3 Théorème d’Ehrenfest
Appliquons la formule (3.5.9) aux observables R et P pour un système formé d’une
particule de masse m, plongée dans un potentiel scalaire V(R). On a :
H =
P
2
2m
+ V(R)
( 3 .5.13)
L’observable R ne dépendant pas du temps et puisque
R, P
2
= 2i P,
d
dt
R = −
i
[R, H] = −
i
[R,
P
2
2m
] =
1
m
P
(3.5.14)
De même, l’observable P = −i ∇ ne dépend pas du temps et l’on a :
d
dt
P = −
i
[P, H] = −
i
[P, V(R)] = −−∇V(r)
(3.5.15)