3.5 Propriétés des observables
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La base {|u
k
n } étant orthonormée, le terme entre parenthèses dans la relation qui
précède est égal à l’opérateur unité donné par (3.2.26). On obtient alors :
A c = c | A | c
(3.4.22)
Lorsqu’un système se trouve dans un état quelconque |c de norme unité, la valeur moyenne de l’observable A est donnée par (3.4.22). Cette expression étant une
conséquence du postulat V, on peut évidemment poser comme postulat l’expression
de la valeur moyenne (3.4.22) et en déduire l’expression des probabilités données
par (3.4.18).
3.5 PROPRIÉTÉS DES OBSERVABLES
3.5.1 Évolution de la valeur moyenne d’une observable
Considérons un système dans un état |c(t), dont la norme est unité à l’instant t = 0,
c’est-à-dire :
c(0) | c(0) = 1
( 3 .5.1)
et soit A(t) une observable associée à une grandeur physique A (t), soit :
A (t) → A(t)
( 3 .5.2)
Supposons que la valeur moyenne A dépende du temps, ce qu’on note A(t) ; on
a :
A(t) = c(t) | A(t) | c(t)
(3.5.3)
Cette valeur moyenne dépend du temps parce que le vecteur |c(t) en dépend mais
aussi éventuellement l’opérateur A(t). Dérivons l’expression (3.5.3) par rapport à t ;
il vient :
d
dt
A(t) =
d
dt
c|
|A|c + c|
∂A
∂t
|c + c|A|
d
dt
|c
(3.5.4)
Transformons cette dernière équation, d’une part en utilisant la dérivée de |c donnée
par l’équation de Schrödinger :
d
dt
|c = −
i
H |c = −
i
|Hc
(3.5.5)
d’autre part en calculant la dérivée de c|. Pour cela, remarquons que l’opérateur H
est hermitien ; il vient, en utilisant (3.5.5) et (3.2.12) :
d
dt
c| =
i
cH| =
i
c|H
† =
i
c|H
(3.5.6)
Compte tenu de (3.5.6), l’expression (3.5.4) donne pour A = 1 1 :
d
dt
c(t) | c(t) =
i
c(t) | H | c(t) −
i
c(t) | H | c(t) = 0
(3.5.7)
On en déduit que la norme de l’état du système reste indépendante du temps. Cela
signifie que, lorsqu’à l’instant zéro le vecteur d’état |c du système est normalisé à