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3 • Formalisme de la mécanique quantique
c) Valeurs propres dégénérées
Dans le cas d’un spectre comportant des valeurs propres a n dégénérées g n fois,
il correspond à chaque valeur propre g n vecteurs propres orthonormés |u
k
n , avec
k = 1, 2, ..., g n . Le vecteur d’état |c peut être développé sur la base orthonormée
{|u
k
n } sous la forme :
|c =
n
gn
k=1
c
k
n |u
k
n
(3.4.16)
Puisqu’on a g n états |u
k
n correspondant à la même valeur propre a n , la probabilité
d’obtenir a n comme résultat d’une mesure doit être égale à la somme des probabilités
relatives à chaque état |u
k
n , soit :
P(a n ) =
gn
k=1
|c
k
n |
2
(3.4.17)
Postulat VI. Soit A une grandeur physique d’un système et A l’observable correspondante ; soit a n une valeur propre de A dégénérée g n fois et associée aux
vecteurs propres orthonormés |u
k
n . Lorsqu’on mesure A sur le système dans
l’état |c de norme unité, la probabilité P(a n ) d’obtenir comme résultat de mesure a n est donnée par :
P(a n ) =
gn
k=1
||u
k
n | c|
2
(3.4.18)
3.4.4 Valeurs moyennes d’une observable
Les postulats V et VI ont été obtenus en généralisant le raisonnement effectué sur la
valeur moyenne de l’énergie donnée par (3.4.9). Réciproquement, partant des postulats V et VI, on doit retrouver, pour une observable quelconque A, une expression
analogue à (3.4.9) pour la valeur moyenne de A.
Considérons un système quantique dans un état quelconque |c. La valeur
moyenne, notée A c , d’une observable A est donnée par :
A c =
n
P(a n )a n
(3.4.19)
En reportant dans cette dernière relation l’expression de P(a n ) donnée par (3.4.18),
on obtient :
A c =
n
gn
k=1
||u
k
n | c|
2 a n =
n
gn
k=1
c | a n u
k
n u
k
n | c
(3.4.20)
Puisqu’on a : A |u
k
n = a n |u
k
n , la relation précédente devient :
A c =
n
gn
k=1
c | Au
k
n u
k
n | c = c | A
n
gn
k=1
|u
k
n u
k
n |
|c (3.4.21)