3.4 Postulats de la mécanique quantique
69
Selon le postulat III, les seules valeurs mesurables sont les valeurs E n . Or si l’on
effectue un grand nombre N de mesures de l’énergie sur un système dans un état
quelconque |c, on obtiendra un certain nombre de fois, n j , la valeur E j . Lorsque N
devient très grand, le rapport n j /N devient peu différent de la probabilité théorique
P(E j ) d’obtenir la valeur E j lors d’une mesure, soit :
P(E j )
n j
N
(3.4.11)
Or, la valeur moyenne, W exp , des valeurs obtenues à partir de ces N mesures est la
somme des valeurs expérimentales divisée par N, soit en tenant compte de (3.4.11) :
W exp =
1
N
j
n j E n
j
P(E j )E j
(3.4.12)
Comparant les expressions (3.4.10) et (3.4.12), on voit que W peut être interprété
comme une valeur moyenne de l’énergie en considérant |c n |
2 comme la probabilité
d’obtenir pour résultat E n lors d’une mesure. Cette interprétation est confortée par le
fait que la somme des probabilités est bien égale à l’unité, puisqu’on a précisément,
en utilisant la relation (3.4.7) :
c | c =
n
|c n |
2 = 1
( 3 .4.13)
|c étant de norme unité.
b) Valeurs propres non dégénérées
L’interprétation précédente des quantités |c n |
2 peut être étendue à toutes les observables. Considérons une observable A dont le spectre ne comporte que des valeurs
propres a n non dégénérées et soit |u n le vecteur propre normé associé à a n . L’ensemble des vecteurs d’état |u n forme une base de l’espace E et un vecteur |c quelconque peut être développé sous la forme :
|c =
n
c n |u n
(3.4.14)
Comme on l’a fait pour l’énergie, on postule que |c n |
2 représente la probabilité, notée
P(a n ), d’obtenir la valeur propre a n comme résultat d’une mesure de la grandeur
physique A à laquelle correspond l’observable A.
Postulat V. Soit A une grandeur physique d’un système quantique et A l’observable correspondante dont le spectre ne comporte que des valeurs propres non
dégénérées a n associées aux vecteurs propres orthonormés |u n . Lorsqu’on mesure A sur le système dans l’état quelconque |c de norme unité, la probabilité
P(a n ) d’obtenir comme résultat de mesure a n est donnée par :
P(a n ) = ||u n | c|
2
(3.4.15)
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Selon le postulat III, les seules valeurs mesurables sont les valeurs E n . Or si l’on
effectue un grand nombre N de mesures de l’énergie sur un système dans un état
quelconque |c, on obtiendra un certain nombre de fois, n j , la valeur E j . Lorsque N
devient très grand, le rapport n j /N devient peu différent de la probabilité théorique
P(E j ) d’obtenir la valeur E j lors d’une mesure, soit :
P(E j )
n j
N
(3.4.11)
Or, la valeur moyenne, W exp , des valeurs obtenues à partir de ces N mesures est la
somme des valeurs expérimentales divisée par N, soit en tenant compte de (3.4.11) :
W exp =
1
N
j
n j E n
j
P(E j )E j
(3.4.12)
Comparant les expressions (3.4.10) et (3.4.12), on voit que W peut être interprété
comme une valeur moyenne de l’énergie en considérant |c n |
2 comme la probabilité
d’obtenir pour résultat E n lors d’une mesure. Cette interprétation est confortée par le
fait que la somme des probabilités est bien égale à l’unité, puisqu’on a précisément,
en utilisant la relation (3.4.7) :
c | c =
n
|c n |
2 = 1
( 3 .4.13)
|c étant de norme unité.
b) Valeurs propres non dégénérées
L’interprétation précédente des quantités |c n |
2 peut être étendue à toutes les observables. Considérons une observable A dont le spectre ne comporte que des valeurs
propres a n non dégénérées et soit |u n le vecteur propre normé associé à a n . L’ensemble des vecteurs d’état |u n forme une base de l’espace E et un vecteur |c quelconque peut être développé sous la forme :
|c =
n
c n |u n
(3.4.14)
Comme on l’a fait pour l’énergie, on postule que |c n |
2 représente la probabilité, notée
P(a n ), d’obtenir la valeur propre a n comme résultat d’une mesure de la grandeur
physique A à laquelle correspond l’observable A.
Postulat V. Soit A une grandeur physique d’un système quantique et A l’observable correspondante dont le spectre ne comporte que des valeurs propres non
dégénérées a n associées aux vecteurs propres orthonormés |u n . Lorsqu’on mesure A sur le système dans l’état quelconque |c de norme unité, la probabilité
P(a n ) d’obtenir comme résultat de mesure a n est donnée par :
P(a n ) = ||u n | c|
2
(3.4.15)