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3 • Formalisme de la mécanique quantique
Si le produit scalaire classique est commutatif, il n’en est pas de même des produits
d’opérateurs R·P et P·R ; de plus, ces produits ne sont pas des opérateurs hermitiens.
Pour avoir un opérateur hermitien, il faut former la combinaison suivante :
1
2
(R · P + P · R)
( 3 .4.4)
On dira que l’opérateur a été symétrisé. De manière générale, l’observable qui décrit
une grandeur physique doit être convenablement symétrisée lorsque cette grandeur
fait intervenir des produits d’opérateurs qui ne commutent pas entre eux.
b) Opérateur hamiltonien
Dans le cas d’une particule de masse m dans un potentiel scalaire, l’hamiltonien
classique s’écrit :
H =
p
2
2m
+ V(r)
( 3 .4.5)
L’hamiltonien correspondant agissant dans l’espace des vecteurs d’état s’écrit :
H =
P
2
2m
+ V(R)
( 3 .4.6)
Pour un ensemble de particules, l’hamiltonien classique est la somme des hamiltoniens relatifs à chacune des particules. Il en sera alors de même pour l’hamiltonien
H du système.
3.4.3 Probabilité d’obtention d’une valeur propre lors d’une mesure
a) Mesure de l’énergie
Considérons un système qui se trouve dans un état quelconque décrit par le vecteur
|c normé. Notons |u n les vecteurs propres orthonormés de l’hamiltonien du système, correspondant aux états stationnaires de celui-ci, associés aux valeurs propres
E n , non dégénérées. Le vecteur |c peut s’écrire sur la base {|u n } :
|c =
n
c n |u n
(3.4.7)
Dans un état stationnaire, l’énergie E n du système est donnée par l’élément matriciel
suivant de l’hamiltonien H :
E n = u n | H | u n
(3.4.8)
Cherchons à présent le sens physique qu’il faut attribuer à un élément du même type
pour un système dans un état non stationnaire, c’est-à-dire :
W = c | H | c
(3.4.9)
Substituant le développement (3.4.7) de c dans l’expression (3.4.9) et tenant compte
de l’équation H|u n = E n |u n , on obtient :
W =
n
c n u n | H |
j
c j u j =
n,j
c
∗
n c j E j u n | u j =
n
| c n |
2 E n (3.4.10)
3 • Formalisme de la mécanique quantique
Si le produit scalaire classique est commutatif, il n’en est pas de même des produits
d’opérateurs R·P et P·R ; de plus, ces produits ne sont pas des opérateurs hermitiens.
Pour avoir un opérateur hermitien, il faut former la combinaison suivante :
1
2
(R · P + P · R)
( 3 .4.4)
On dira que l’opérateur a été symétrisé. De manière générale, l’observable qui décrit
une grandeur physique doit être convenablement symétrisée lorsque cette grandeur
fait intervenir des produits d’opérateurs qui ne commutent pas entre eux.
b) Opérateur hamiltonien
Dans le cas d’une particule de masse m dans un potentiel scalaire, l’hamiltonien
classique s’écrit :
H =
p
2
2m
+ V(r)
( 3 .4.5)
L’hamiltonien correspondant agissant dans l’espace des vecteurs d’état s’écrit :
H =
P
2
2m
+ V(R)
( 3 .4.6)
Pour un ensemble de particules, l’hamiltonien classique est la somme des hamiltoniens relatifs à chacune des particules. Il en sera alors de même pour l’hamiltonien
H du système.
3.4.3 Probabilité d’obtention d’une valeur propre lors d’une mesure
a) Mesure de l’énergie
Considérons un système qui se trouve dans un état quelconque décrit par le vecteur
|c normé. Notons |u n les vecteurs propres orthonormés de l’hamiltonien du système, correspondant aux états stationnaires de celui-ci, associés aux valeurs propres
E n , non dégénérées. Le vecteur |c peut s’écrire sur la base {|u n } :
|c =
n
c n |u n
(3.4.7)
Dans un état stationnaire, l’énergie E n du système est donnée par l’élément matriciel
suivant de l’hamiltonien H :
E n = u n | H | u n
(3.4.8)
Cherchons à présent le sens physique qu’il faut attribuer à un élément du même type
pour un système dans un état non stationnaire, c’est-à-dire :
W = c | H | c
(3.4.9)
Substituant le développement (3.4.7) de c dans l’expression (3.4.9) et tenant compte
de l’équation H|u n = E n |u n , on obtient :
W =
n
c n u n | H |
j
c j u j =
n,j
c
∗
n c j E j u n | u j =
n
| c n |
2 E n (3.4.10)