3.4 Postulats de la mécanique quantique
67
c) Mesure des grandeurs physiques
L’équation de Schrödinger Hc = Ec est une équation dont les énergies E sont les
valeurs propres de l’opérateur H. De même, toutes les grandeurs physiques mesurables vont être des valeurs propres de l’opérateur correspondant. La mesure d’une
grandeur physique étant nécessairement un nombre réel, l’opérateur correspondant
doit être hermitien.
Postulat III. Les valeurs propres de l’observable A, correspondant à une grandeur
physique A , sont les seules valeurs mesurables.
d) Équation de Schrödinger
L’équation de Schrödinger (1.1.15) :
Hc(r, t) = i ∂c(r, t)/∂t
(3.4.1)
est écrite en réalisation-r. Pour les vecteurs d’état, l’opérateur hamiltonien H sera
construit en utilisant les opérateurs R et P agissant dans l’espace E . Pour un système
quantique quelconque, l’opérateur hamiltonien H sera obtenu à partir de l’expression
de la fonction classique de Hamilton.
Postulat IV. L’opérateur hamiltonien H d’un système est l’observable associée à
l’énergie totale de ce système. L’évolution dans le temps du vecteur d’état |c(t)
est régie par l’équation de Schrödinger :
H|c(t) = i
d
dt
|c(t)
(3.4.2)
3.4.2 Construction de l’opérateur hamiltonien
L’opérateur hamiltonien H d’un système sera construit à partir de la fonction de Hamilton dans laquelle figurent diverses grandeurs physiques de la mécanique classique
relatives au système.
a) Observables décrivant des grandeurs physiques
Les grandeurs de la mécanique classique sont exprimées en fonction des vecteurs
position r et impulsion p. Ces vecteurs seront remplacés par les observables R et P.
Par exemple, l’opérateur associé à l’énergie cinétique p
2 /2m est obtenu en remplaçant p
2 par l’observable P
2 = P
2
x + P
2
y + P
2
z . L’opérateur associé à l’énergie potentielle
V(r) est simplement V(R).
Il n’est cependant pas toujours possible de remplacer directement dans l’expression classique, les vecteurs r et p par les opérateurs correspondants. Par exemple,
considérons une grandeur physique classique telle que le produit scalaire r · p :
r · p = xp x + yp y + zp z = p · r = p x x + p y y + p z z
(3.4.3)
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c) Mesure des grandeurs physiques
L’équation de Schrödinger Hc = Ec est une équation dont les énergies E sont les
valeurs propres de l’opérateur H. De même, toutes les grandeurs physiques mesurables vont être des valeurs propres de l’opérateur correspondant. La mesure d’une
grandeur physique étant nécessairement un nombre réel, l’opérateur correspondant
doit être hermitien.
Postulat III. Les valeurs propres de l’observable A, correspondant à une grandeur
physique A , sont les seules valeurs mesurables.
d) Équation de Schrödinger
L’équation de Schrödinger (1.1.15) :
Hc(r, t) = i ∂c(r, t)/∂t
(3.4.1)
est écrite en réalisation-r. Pour les vecteurs d’état, l’opérateur hamiltonien H sera
construit en utilisant les opérateurs R et P agissant dans l’espace E . Pour un système
quantique quelconque, l’opérateur hamiltonien H sera obtenu à partir de l’expression
de la fonction classique de Hamilton.
Postulat IV. L’opérateur hamiltonien H d’un système est l’observable associée à
l’énergie totale de ce système. L’évolution dans le temps du vecteur d’état |c(t)
est régie par l’équation de Schrödinger :
H|c(t) = i
d
dt
|c(t)
(3.4.2)
3.4.2 Construction de l’opérateur hamiltonien
L’opérateur hamiltonien H d’un système sera construit à partir de la fonction de Hamilton dans laquelle figurent diverses grandeurs physiques de la mécanique classique
relatives au système.
a) Observables décrivant des grandeurs physiques
Les grandeurs de la mécanique classique sont exprimées en fonction des vecteurs
position r et impulsion p. Ces vecteurs seront remplacés par les observables R et P.
Par exemple, l’opérateur associé à l’énergie cinétique p
2 /2m est obtenu en remplaçant p
2 par l’observable P
2 = P
2
x + P
2
y + P
2
z . L’opérateur associé à l’énergie potentielle
V(r) est simplement V(R).
Il n’est cependant pas toujours possible de remplacer directement dans l’expression classique, les vecteurs r et p par les opérateurs correspondants. Par exemple,
considérons une grandeur physique classique telle que le produit scalaire r · p :
r · p = xp x + yp y + zp z = p · r = p x x + p y y + p z z
(3.4.3)