3.3 Système complet d’observables qui commutent
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une mesure de B permettra d’obtenir la valeur b k . Si l’on effectue simultanément une
mesure de A et B, on peut, dans ce cas, obtenir des valeurs parfaitement déterminées.
Lorsqu’il en est ainsi, on dit que ces observables sont compatibles.
Lorsque deux observables ne commutent pas, elles ne pourront pas avoir de base
commune et un état ne pourra pas être un vecteur propre simultané de ces deux
observables, sauf éventuellement pour quelques vecteurs particuliers. On dira que
ces observables sont incompatibles.
3.3.2 Système complet d’observables qui commutent
La notion de système complet d’observables qui commutent — dont le sigle est noté
« SCOC » — est importante en mécanique quantique car elle correspond à l’idée que,
pour un système donné, on a trouvé un ensemble d’observables dont les valeurs et
les vecteurs propres spécifient toutes les grandeurs expérimentales mesurables, pour
une technique de mesure donnée.
Considérons une observable A agissant dans E et une base propre de A. Lorsque
aucune des valeurs propres de A n’est dégénérée, cette base propre est unique, en
convenant évidemment de considérer comme identique des vecteurs qui ne diffèrent
entre eux que par leur phase. On dit alors que l’observable A constitue, à elle seule,
un SCOC.
Supposons à présent que l’observable A ait un spectre dont l’une au moins des
valeurs propres soit dégénérée. Notons a cette valeur dégénérée et E a le sous-espace
propre formé par les vecteurs propres associés à la valeur propre a. On peut choisir à
l’intérieur de E a une base quelconque et la base propre de A n’est plus unique.
Soit alors B une autre observable qui commute avec A. On peut former une base
orthonormée de vecteurs propres communs à A et B puisque nous en avons démontré
l’existence. Si cette base est unique, c’est-à-dire si à chacun des couples de valeurs
propres a j , b k , il correspond un seul vecteur de base de E , on dit alors que les observables A et B forment un SCOC.
De manière générale, des observables A, B, ..., M qui commutent deux à deux
forment un SCOC si elles possèdent un système de base commun et un seul.
Remarquons que pour un système physique donné, on peut choisir plusieurs SCOC
différents. En particulier, on peut ajouter d’autres observables qui commutent avec
ceux d’un SCOC ; on obtient alors un autre SCOC. On utilisera généralement le
nombre minimal d’observables permettant de former un SCOC.
3.3.3 Mesures expérimentales et SCOC
Les grandeurs physiques représentées par les observables d’un SCOC peuvent être
toutes mesurées simultanément avec précision et forment un système complet de
grandeurs compatibles . Le vecteur d’état du système est un vecteur propre des observables A, B, ..., M, correspondant aux valeurs propres a, b, ..., m, trouvées lors
de l’opération de mesure. Comme il n’existe qu’un seul vecteur propre possédant
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une mesure de B permettra d’obtenir la valeur b k . Si l’on effectue simultanément une
mesure de A et B, on peut, dans ce cas, obtenir des valeurs parfaitement déterminées.
Lorsqu’il en est ainsi, on dit que ces observables sont compatibles.
Lorsque deux observables ne commutent pas, elles ne pourront pas avoir de base
commune et un état ne pourra pas être un vecteur propre simultané de ces deux
observables, sauf éventuellement pour quelques vecteurs particuliers. On dira que
ces observables sont incompatibles.
3.3.2 Système complet d’observables qui commutent
La notion de système complet d’observables qui commutent — dont le sigle est noté
« SCOC » — est importante en mécanique quantique car elle correspond à l’idée que,
pour un système donné, on a trouvé un ensemble d’observables dont les valeurs et
les vecteurs propres spécifient toutes les grandeurs expérimentales mesurables, pour
une technique de mesure donnée.
Considérons une observable A agissant dans E et une base propre de A. Lorsque
aucune des valeurs propres de A n’est dégénérée, cette base propre est unique, en
convenant évidemment de considérer comme identique des vecteurs qui ne diffèrent
entre eux que par leur phase. On dit alors que l’observable A constitue, à elle seule,
un SCOC.
Supposons à présent que l’observable A ait un spectre dont l’une au moins des
valeurs propres soit dégénérée. Notons a cette valeur dégénérée et E a le sous-espace
propre formé par les vecteurs propres associés à la valeur propre a. On peut choisir à
l’intérieur de E a une base quelconque et la base propre de A n’est plus unique.
Soit alors B une autre observable qui commute avec A. On peut former une base
orthonormée de vecteurs propres communs à A et B puisque nous en avons démontré
l’existence. Si cette base est unique, c’est-à-dire si à chacun des couples de valeurs
propres a j , b k , il correspond un seul vecteur de base de E , on dit alors que les observables A et B forment un SCOC.
De manière générale, des observables A, B, ..., M qui commutent deux à deux
forment un SCOC si elles possèdent un système de base commun et un seul.
Remarquons que pour un système physique donné, on peut choisir plusieurs SCOC
différents. En particulier, on peut ajouter d’autres observables qui commutent avec
ceux d’un SCOC ; on obtient alors un autre SCOC. On utilisera généralement le
nombre minimal d’observables permettant de former un SCOC.
3.3.3 Mesures expérimentales et SCOC
Les grandeurs physiques représentées par les observables d’un SCOC peuvent être
toutes mesurées simultanément avec précision et forment un système complet de
grandeurs compatibles . Le vecteur d’état du système est un vecteur propre des observables A, B, ..., M, correspondant aux valeurs propres a, b, ..., m, trouvées lors
de l’opération de mesure. Comme il n’existe qu’un seul vecteur propre possédant