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3 • Formalisme de la mécanique quantique
Les vecteurs (A − a) |f k (a) sont donc des vecteurs propres de B ; les valeurs propres
correspondantes b k étant toutes distinctes, ces vecteurs sont linéairement indépendants. Cependant, on a également :
k
(A − a) |f k (a) = (A − a) |c a = 0
( 3 .3.5)
Comme |c a est donné par (3.3.3), l’égalité (3.3.5) n’est possible que si chacun des
vecteurs (A − a) |f k (a) est nul, soit :
(A − a) |f k (a) = 0
( 3 .3.6)
En conséquence, les vecteurs |f k (a) sont aussi vecteurs propres de A. Les résultats
précédents s’appliquent à tout vecteur propre |c
(a)
n de A associé à la valeur propre
a n , de dégénérescence g n , avec a = 1, 2, ..., g n . On a la décomposition :
|c
(a)
n =
k
|f
(a)
k (a n )
(3.3.7)
où les vecteurs |f
(a)
k (a n ) sont des vecteurs propres communs à A et B. Il existe éventuellement plusieurs vecteurs |f
(a)
k (a n ), pour un même couple de valeurs propres
(a n , b k ), qui peuvent ne pas être linéairement indépendants. Cependant, il est possible de construire une suite de vecteurs orthonormés |h
(g)
k (a n ) correspondant au
même couple de valeurs propres et tels que les vecteurs |f
(a)
k (a n ) soient des combinaisons linéaires de ces vecteurs :
|f
(a)
k (a n ) =
g
c ag |h
(g)
k (a n )
(3.3.8)
L’ensemble {|h
(g)
k (a n )} constitue un système orthonormé de vecteurs communs à
A et B. De plus, l’ensemble {|h
(g)
k (a n )} est un système total car tout vecteur C est
développable en série des vecteurs |h
(g)
k (a n ). En effet, il suffit de développer C sur
la base {|c
(a)
n }, puis de transformer chaque |c
(a)
n à l’aide de son développement
(3.3.7) et enfin de substituer aux |f
(a)
k (a n ) leur développement (3.3.8). Le théorème
se trouve ainsi démontré ; sa réciproque se démontre également.
Ce théorème s’étend à un nombre quelconque N d’observables qui commutent
deux à deux. Par conséquent, si N observables commutent deux à deux, elles possèdent au moins un système orthonormé total de vecteurs propres communs et réciproquement.
b) Observables compatibles
Soient A et B deux observables qui commutent et soient a j et b k des valeurs propres
respectives de A et B. Notons |a j , b k , a les vecteurs formant une base commune
de l’espace des états ; l’indice a spécifie les différents vecteurs correspondant à un
même couple a j , b k .
L’état |a j , b k , a étant associé à la valeur propre a j de A, il existe au moins un
état pour lequel une mesure de A permettra d’obtenir la valeur a j . Pour ce même état,
3 • Formalisme de la mécanique quantique
Les vecteurs (A − a) |f k (a) sont donc des vecteurs propres de B ; les valeurs propres
correspondantes b k étant toutes distinctes, ces vecteurs sont linéairement indépendants. Cependant, on a également :
k
(A − a) |f k (a) = (A − a) |c a = 0
( 3 .3.5)
Comme |c a est donné par (3.3.3), l’égalité (3.3.5) n’est possible que si chacun des
vecteurs (A − a) |f k (a) est nul, soit :
(A − a) |f k (a) = 0
( 3 .3.6)
En conséquence, les vecteurs |f k (a) sont aussi vecteurs propres de A. Les résultats
précédents s’appliquent à tout vecteur propre |c
(a)
n de A associé à la valeur propre
a n , de dégénérescence g n , avec a = 1, 2, ..., g n . On a la décomposition :
|c
(a)
n =
k
|f
(a)
k (a n )
(3.3.7)
où les vecteurs |f
(a)
k (a n ) sont des vecteurs propres communs à A et B. Il existe éventuellement plusieurs vecteurs |f
(a)
k (a n ), pour un même couple de valeurs propres
(a n , b k ), qui peuvent ne pas être linéairement indépendants. Cependant, il est possible de construire une suite de vecteurs orthonormés |h
(g)
k (a n ) correspondant au
même couple de valeurs propres et tels que les vecteurs |f
(a)
k (a n ) soient des combinaisons linéaires de ces vecteurs :
|f
(a)
k (a n ) =
g
c ag |h
(g)
k (a n )
(3.3.8)
L’ensemble {|h
(g)
k (a n )} constitue un système orthonormé de vecteurs communs à
A et B. De plus, l’ensemble {|h
(g)
k (a n )} est un système total car tout vecteur C est
développable en série des vecteurs |h
(g)
k (a n ). En effet, il suffit de développer C sur
la base {|c
(a)
n }, puis de transformer chaque |c
(a)
n à l’aide de son développement
(3.3.7) et enfin de substituer aux |f
(a)
k (a n ) leur développement (3.3.8). Le théorème
se trouve ainsi démontré ; sa réciproque se démontre également.
Ce théorème s’étend à un nombre quelconque N d’observables qui commutent
deux à deux. Par conséquent, si N observables commutent deux à deux, elles possèdent au moins un système orthonormé total de vecteurs propres communs et réciproquement.
b) Observables compatibles
Soient A et B deux observables qui commutent et soient a j et b k des valeurs propres
respectives de A et B. Notons |a j , b k , a les vecteurs formant une base commune
de l’espace des états ; l’indice a spécifie les différents vecteurs correspondant à un
même couple a j , b k .
L’état |a j , b k , a étant associé à la valeur propre a j de A, il existe au moins un
état pour lequel une mesure de A permettra d’obtenir la valeur a j . Pour ce même état,