3.3 Système complet d’observables qui commutent
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c) Opérateurs hermitiens
Les opérateurs ainsi définis sur l’espace des vecteurs d’état possèdent des propriétés
analogues à celles qui leur correspondent dans l’espace des fonctions d’onde.
En particulier, les opérateurs R et P sont hermitiens. Pour l’opérateur X, par
exemple, on a, compte tenu de x
∗ = x :
c | X | f = c(r), xf(r) = f(r), xc(r)
∗ = f | X | c
∗
= X
† f | c
∗ = c | X
† f
(3.2.42)
On obtient : X = X
† . Une démonstration identique peut être faite pour P x en utilisant
les fonctions d’onde F(p).
3.3 SYSTÈME COMPLET D’OBSERVABLES QUI COMMUTENT
3.3.1 Observables qui commutent
a) Base de l’espace des vecteurs d’état
Théorème. Si deux observables commutent, elles possèdent un système de vecteurs propres communs formant une base de l’espace des vecteurs d’état.
Pour démontrer ce théorème, considérons les vecteurs propres |w
(b)
k formant une
base propre de l’opérateur B ; ces vecteurs vérifient la relation (2.3.18). L’indice k
caractérise la valeur propre associée b k , et l’indice b, le degré de dégénérescence g k :
b = 1, 2, ..., g k .
Un vecteur propre |c a de A, associé à la valeur propre a, peut alors être décomposé sous la forme :
|c a =
∞
k=0
gk
b=1
w
(b)
k | c a |w
(b)
k
(3.3.1)
Notons |f k (a) le vecteur suivant, relatif à une seule valeur propre b k :
|f k (a) =
gk
b=1
w
(b)
k | c a |w
(b)
k
(3.3.2)
Notons que les vecteurs |f k (a) sont des vecteurs propres de B relatifs à la valeur
propre b k . Le développement de |c a s’écrit :
|c a =
∞
k=0
|f k (a)
(3.3.3)
Montrons que les vecteurs |f k (a) sont également vecteurs propres de A. En effet,
comme A et B commutent, on a :
B(A − a) |f k (a) = (A − a)B |f k (a) = b k (A − a) |f k (a)
(3.3.4)