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3 • Formalisme de la mécanique quantique
c
(r) = r | c
= x r | c. La définition (3.2.32) est donc équivalente à la relation :
r | X | c = x r | c
(3.2.33)
On définit de façon analogue les opérateurs Y et Z par les formules :
r | Y | c = y r | c ; r | Z | c = z r | c
(3.2.34)
Le vecteur R, encore appelé opérateur vectoriel, est alors défini comme le vecteur
ayant pour composantes les opérateurs X, Y et Z.
b) Opérateurs composantes de l’impulsion
À la fonction c(r), l’opérateur impulsion −i ∂/∂x fait correspondre la fonction :
c
(x) = −i
∂
∂x
c(r)
( 3 .2.35)
Par définition, P x est l’opérateur qui, agissant sur le ket |c, donne le ket |c
, soit :
|c
= P x |c
(3.2.36)
L’action de l’opérateur P x coïncide, en réalisation-|r, avec l’action de l’opérateur
−i ∂/∂x appliqué aux fonctions d’onde. On a :
r | c
= r | P x | c = −i
∂
∂x
r | c
(3.2.37)
On définit de façon analogue les opérateurs P y et P z par :
r | P y | c = −i
∂
∂y
r | c ; r | P z | c = −i
∂
∂z
r | c
(3.2.38)
On démontre, au cours de l’exercice 3.1, que l’action de l’opérateur P x , en réalisation| p x , sur un vecteur ket quelconque est égale à la multiplication par le nombre p x ,
soit :
P x |c = p x |c
(3.2.39)
où p x est la composante selon Ox de l’impulsion p. On a donc :
p | P x | c = p x p | c
(3.2.40)
On a des relations analogues pour P y et P z , soit :
p | P y | c = p y p | c ; p | P z | c = p z p | c
(3.2.41)
Le vecteur P a pour composantes les opérateurs P x , P y et P z .