3.2 Espace des états quantiques
61
c) Réalisation-|r
La réalisation-r des fonctions d’onde de l’espace F s’obtient en introduisant une base
formée des distributions de Dirac d r . Faisons correspondre à chaque distribution d r ,
un vecteur ket noté |r. Nous définissons ainsi dans l’espace E r des vecteurs formant
une base de cet espace, notée {|r}.
Le produit scalaire des vecteurs kets nous donne :
r | c = |r, |c = d r , c = c(r)
( 3 .2.30)
La fonction d’onde, dans l’espace des coordonnées, s’écrit alors :
c(r) = r | c
(3.2.31)
Nous pouvons interpréter les nombres c(r) comme étant les composantes du ket
|c sur le vecteur de base |r. Nous dirons que la fonction d’onde c(r) constitue la
réalisation-|r du vecteur d’état |c.
d) Réalisation-|w a
Aux fonctions d’onde w a (r) associées à un spectre continu de valeurs propres a, on
fait correspondre les vecteurs d’état |w a . Les composantes d’un ket quelconque |c
sont alors données par :
c a = w a | c = w a (r), c(r)
Les composantes c a forment la réalisation-|w a du vecteur d’état |c.
Remarque : La réalisation particulière d’un vecteur est également appelée sa
représentation. Ainsi on dira que F(p) est la représentation-|p du vecteur |c.
Cependant, le terme « représentation » est classiquement utilisé en mathématiques pour la représentation des groupes ; il semble donc préférable d’utiliser
le terme « réalisation » pour qualifier un mode de description des états quantiques.
3.2.6 Opérateurs R et P
Nous allons définir des opérateurs qui agissent dans l’espace des vecteurs d’état, E r .
Ces opérateurs vont être obtenus en les faisant correspondre à ceux qui agissent sur
les fonctions d’onde.
a) Opérateurs X, Y, Z
Soit c
(r) une fonction d’onde telle que : c
(r) = x c(r). Par définition, X est l’opérateur qui, agissant sur le ket |c, donne le ket |c
, soit :
|c
= X |c
(3.2.32)
L’action de l’opérateur X coïncide donc, en réalisation-|r, avec la multiplication par
x appliquée aux fonctions d’onde. Selon (3.2.31), on peut écrire : c(r) = r | c et
61
c) Réalisation-|r
La réalisation-r des fonctions d’onde de l’espace F s’obtient en introduisant une base
formée des distributions de Dirac d r . Faisons correspondre à chaque distribution d r ,
un vecteur ket noté |r. Nous définissons ainsi dans l’espace E r des vecteurs formant
une base de cet espace, notée {|r}.
Le produit scalaire des vecteurs kets nous donne :
r | c = |r, |c = d r , c = c(r)
( 3 .2.30)
La fonction d’onde, dans l’espace des coordonnées, s’écrit alors :
c(r) = r | c
(3.2.31)
Nous pouvons interpréter les nombres c(r) comme étant les composantes du ket
|c sur le vecteur de base |r. Nous dirons que la fonction d’onde c(r) constitue la
réalisation-|r du vecteur d’état |c.
d) Réalisation-|w a
Aux fonctions d’onde w a (r) associées à un spectre continu de valeurs propres a, on
fait correspondre les vecteurs d’état |w a . Les composantes d’un ket quelconque |c
sont alors données par :
c a = w a | c = w a (r), c(r)
Les composantes c a forment la réalisation-|w a du vecteur d’état |c.
Remarque : La réalisation particulière d’un vecteur est également appelée sa
représentation. Ainsi on dira que F(p) est la représentation-|p du vecteur |c.
Cependant, le terme « représentation » est classiquement utilisé en mathématiques pour la représentation des groupes ; il semble donc préférable d’utiliser
le terme « réalisation » pour qualifier un mode de description des états quantiques.
3.2.6 Opérateurs R et P
Nous allons définir des opérateurs qui agissent dans l’espace des vecteurs d’état, E r .
Ces opérateurs vont être obtenus en les faisant correspondre à ceux qui agissent sur
les fonctions d’onde.
a) Opérateurs X, Y, Z
Soit c
(r) une fonction d’onde telle que : c
(r) = x c(r). Par définition, X est l’opérateur qui, agissant sur le ket |c, donne le ket |c
, soit :
|c
= X |c
(3.2.32)
L’action de l’opérateur X coïncide donc, en réalisation-|r, avec la multiplication par
x appliquée aux fonctions d’onde. Selon (3.2.31), on peut écrire : c(r) = r | c et