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3 • Formalisme de la mécanique quantique
Le vecteur |f étant quelconque, l’opérateur P est égal à l’unité, d’où :
∞
i=1
|c i c i | = 1 1
(3.2.26)
Cette dernière égalité est appelée relation de fermeture. Réciproquement, cette relation exprime que l’ensemble {|c i } forme une base de E .
3.2.5 Réalisations
Ainsi que nous l’avons vu pour les fonctions d’onde, une réalisation est un mode de
description d’un état quantique obtenu en choisissant une base, discrète ou continue.
Des réalisations analogues existent pour les vecteurs d’état.
a) Réalisation-|w n
La réalisation-w n des fonctions d’onde de l’espace F est une réalisation obtenue
en choisissant une base {w n } discrète. On peut faire correspondre à chacune des
fonctions w n (r) un vecteur d’état |w n , ce qui permet de définir une base de E r . Les
composantes d’un ket quelconque |c sont alors données par :
w n | c = |w n , |c = w n (r), c(r)
L’ensemble des composantes w n | c forme une réalisation du ket |c et cette dernière est appelée la réalisation-|w n . Ces composantes sont évidemment identiques à
celles de la réalisation-w n de la fonction d’onde c(r).
b) Réalisation-| p
La réalisation-p des fonctions d’onde de l’espace F est obtenue en introduisant la
base formée des fonctions :
f p (r) = (2p )
−3/2 e
i p·r/
(3.2.27)
Puisque toute fonction de F peut être développée sur cette base, nous pouvons faire
correspondre à chacun des éléments f p (r) un vecteur ket que nous noterons |p. On
définit ainsi une base de E r , notée {|p}.
Le produit scalaire des vecteurs kets nous donne :
p|c = |p, |c = f p , c = F(p)
( 3 .2.28)
La transformée de Fourier F(p) est donc donnée par :
F(p) = p | c
(3.2.29)
Nous pouvons donc interpréter la « fonction d’onde dans l’espace des impulsions »,
F(p), comme la composante du ket |c sur le vecteur de base |p. Nous dirons que
F(p) est la réalisation-|p du vecteur d’état |c.
3 • Formalisme de la mécanique quantique
Le vecteur |f étant quelconque, l’opérateur P est égal à l’unité, d’où :
∞
i=1
|c i c i | = 1 1
(3.2.26)
Cette dernière égalité est appelée relation de fermeture. Réciproquement, cette relation exprime que l’ensemble {|c i } forme une base de E .
3.2.5 Réalisations
Ainsi que nous l’avons vu pour les fonctions d’onde, une réalisation est un mode de
description d’un état quantique obtenu en choisissant une base, discrète ou continue.
Des réalisations analogues existent pour les vecteurs d’état.
a) Réalisation-|w n
La réalisation-w n des fonctions d’onde de l’espace F est une réalisation obtenue
en choisissant une base {w n } discrète. On peut faire correspondre à chacune des
fonctions w n (r) un vecteur d’état |w n , ce qui permet de définir une base de E r . Les
composantes d’un ket quelconque |c sont alors données par :
w n | c = |w n , |c = w n (r), c(r)
L’ensemble des composantes w n | c forme une réalisation du ket |c et cette dernière est appelée la réalisation-|w n . Ces composantes sont évidemment identiques à
celles de la réalisation-w n de la fonction d’onde c(r).
b) Réalisation-| p
La réalisation-p des fonctions d’onde de l’espace F est obtenue en introduisant la
base formée des fonctions :
f p (r) = (2p )
−3/2 e
i p·r/
(3.2.27)
Puisque toute fonction de F peut être développée sur cette base, nous pouvons faire
correspondre à chacun des éléments f p (r) un vecteur ket que nous noterons |p. On
définit ainsi une base de E r , notée {|p}.
Le produit scalaire des vecteurs kets nous donne :
p|c = |p, |c = f p , c = F(p)
( 3 .2.28)
La transformée de Fourier F(p) est donc donnée par :
F(p) = p | c
(3.2.29)
Nous pouvons donc interpréter la « fonction d’onde dans l’espace des impulsions »,
F(p), comme la composante du ket |c sur le vecteur de base |p. Nous dirons que
F(p) est la réalisation-|p du vecteur d’état |c.