3.2 Espace des états quantiques
59
appliqué à un vecteur d’état |c quelconque, nous donne :
P f |c = |f f | c
(3.2.19)
On obtient un vecteur proportionnel à |f dont le coefficient de proportionnalité
f | c est le produit scalaire de |c par |f. Or, pour deux vecteurs a et b de norme
unité de la géométrie classique, le produit scalaire a · b est égal au cosinus de leur
angle. Par analogie avec de tels vecteurs classiques, on peut dire que le vecteur P f |c
est la « projection orthogonale » de |c sur le vecteur |f.
L’opérateur P f est l’opérateur de projection sur le vecteur |f ou encore le projecteur sur |f. Une nouvelle application de P f sur le vecteur projeté doit redonner
le même vecteur ; on doit donc avoir : P
2
f = P f ; en effet :
P
2
f = |f f | f f| = |f f| = P f
(3.2.20)
où l’on a utilisé le fait que |f est un vecteur de norme unité.
b) Projecteur sur un sous-espace
Soient |c 1 , |c 2 , ..., |c p , p vecteurs formant un sous-espace E p de l’espace E des
vecteurs d’état. Montrons que l’opérateur P p défini par :
P p =
p
i=1
|c i c i |
(3.2.21)
est un opérateur de projection qui projette sur le sous-espace E p . En effet, pour tout
ket |f de E , on a :
P p |f =
p
i=1
|c i c i | f
(3.2.22)
On obtient une combinaison linéaire des vecteurs |c i et le vecteur P p |f appartient
donc à l’espace E p ; les kets c i | f |c i sont les projections de |f sur les divers
kets |c i . L’opérateur P p est donc bien un projecteur sur le sous-espace E p .
c) Relation de fermeture
Soient {|c i } une base orthonormée de E et |f un vecteur quelconque de E ; on a :
|f =
j
c j |c j
(3.2.23)
L’application de l’opérateur suivant :
P =
∞
i=1
|c i c i |
(3.2.24)
au vecteur |f nous donne, en remplaçant |f par son développement et en utilisant
le fait que les vecteurs sont orthonormés :
P |f =
∞
i=1
|c i c i |
j
c j |c j =
i
c i |c i = |f
(3.2.25)
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appliqué à un vecteur d’état |c quelconque, nous donne :
P f |c = |f f | c
(3.2.19)
On obtient un vecteur proportionnel à |f dont le coefficient de proportionnalité
f | c est le produit scalaire de |c par |f. Or, pour deux vecteurs a et b de norme
unité de la géométrie classique, le produit scalaire a · b est égal au cosinus de leur
angle. Par analogie avec de tels vecteurs classiques, on peut dire que le vecteur P f |c
est la « projection orthogonale » de |c sur le vecteur |f.
L’opérateur P f est l’opérateur de projection sur le vecteur |f ou encore le projecteur sur |f. Une nouvelle application de P f sur le vecteur projeté doit redonner
le même vecteur ; on doit donc avoir : P
2
f = P f ; en effet :
P
2
f = |f f | f f| = |f f| = P f
(3.2.20)
où l’on a utilisé le fait que |f est un vecteur de norme unité.
b) Projecteur sur un sous-espace
Soient |c 1 , |c 2 , ..., |c p , p vecteurs formant un sous-espace E p de l’espace E des
vecteurs d’état. Montrons que l’opérateur P p défini par :
P p =
p
i=1
|c i c i |
(3.2.21)
est un opérateur de projection qui projette sur le sous-espace E p . En effet, pour tout
ket |f de E , on a :
P p |f =
p
i=1
|c i c i | f
(3.2.22)
On obtient une combinaison linéaire des vecteurs |c i et le vecteur P p |f appartient
donc à l’espace E p ; les kets c i | f |c i sont les projections de |f sur les divers
kets |c i . L’opérateur P p est donc bien un projecteur sur le sous-espace E p .
c) Relation de fermeture
Soient {|c i } une base orthonormée de E et |f un vecteur quelconque de E ; on a :
|f =
j
c j |c j
(3.2.23)
L’application de l’opérateur suivant :
P =
∞
i=1
|c i c i |
(3.2.24)
au vecteur |f nous donne, en remplaçant |f par son développement et en utilisant
le fait que les vecteurs sont orthonormés :
P |f =
∞
i=1
|c i c i |
j
c j |c j =
i
c i |c i = |f
(3.2.25)