58
3 • Formalisme de la mécanique quantique
3.2.3 Opérateurs linéaires
Toutes les définitions et propriétés des opérateurs linéaires ont été données, au cours
du chapitre 2, pour des vecteurs quelconques et elles restent donc valables pour les
vecteurs d’état ; seule la notation doit être adaptée en remplaçant , par | |.
Un opérateur linéaire A qui agit sur un ket |c donne un vecteur A|c que nous
noterons également |Ac. On a donc les notations équivalentes :
A|c = |Ac
(3.2.13)
Le produit scalaire des deux vecteurs |f et |Ac s’écrit alors de deux manières
équivalentes :
f | Ac = f | A | c
(3.2.14)
Ainsi, la propriété (2.1.27) d’un opérateur hermitien A s’écrit :
f | A | c = Af | c = c | Af
∗ = c | A | f
∗
(3.2.15)
➤ Notation de Dirac d’un opérateur
Considérons un vecteur braf| et un vecteur ket |c. Nous allons voir qu’on peut
donner une signification au symbole :
|c f|
(3.2.16)
Pour cela utilisons formellement cette expression en l’appliquant à un vecteur
ket |h ; on obtient :
|c f | h
(3.2.17)
Cette dernière expression fait apparaître le produit scalaire f | h qui est un nombre
complexe, multiplié par le vecteur ket |c. Le symbole |c f| appliqué à un vecteur
|h nous donne ainsi un autre vecteur ; c’est donc un opérateur écrit en notation de
Dirac.
➤ Observable
Soit A un opérateur hermitien et soit {|w j } un système orthonormé de vecteurs
propres de A, vérifiant la relation (2.3.18) et formant une base propre de A.
L’opérateur hermitien A est appelé une observable si ce système de vecteurs orthonormés forme une base de l’espace E des vecteurs d’état.
Autrement dit, puisque E est un espace de Hilbert, le système orthonormé {|w j }
est total et tout vecteur de l’espace E peut être développé en série sur cette base.
3.2.4 Opérateurs de projection
a) Projecteur sur un vecteur
Considérons un vecteur |f de norme unité, soit f | f = 1. L’opérateur P f défini
par :
P f = |f f|
(3.2.18)
3 • Formalisme de la mécanique quantique
3.2.3 Opérateurs linéaires
Toutes les définitions et propriétés des opérateurs linéaires ont été données, au cours
du chapitre 2, pour des vecteurs quelconques et elles restent donc valables pour les
vecteurs d’état ; seule la notation doit être adaptée en remplaçant , par | |.
Un opérateur linéaire A qui agit sur un ket |c donne un vecteur A|c que nous
noterons également |Ac. On a donc les notations équivalentes :
A|c = |Ac
(3.2.13)
Le produit scalaire des deux vecteurs |f et |Ac s’écrit alors de deux manières
équivalentes :
f | Ac = f | A | c
(3.2.14)
Ainsi, la propriété (2.1.27) d’un opérateur hermitien A s’écrit :
f | A | c = Af | c = c | Af
∗ = c | A | f
∗
(3.2.15)
➤ Notation de Dirac d’un opérateur
Considérons un vecteur braf| et un vecteur ket |c. Nous allons voir qu’on peut
donner une signification au symbole :
|c f|
(3.2.16)
Pour cela utilisons formellement cette expression en l’appliquant à un vecteur
ket |h ; on obtient :
|c f | h
(3.2.17)
Cette dernière expression fait apparaître le produit scalaire f | h qui est un nombre
complexe, multiplié par le vecteur ket |c. Le symbole |c f| appliqué à un vecteur
|h nous donne ainsi un autre vecteur ; c’est donc un opérateur écrit en notation de
Dirac.
➤ Observable
Soit A un opérateur hermitien et soit {|w j } un système orthonormé de vecteurs
propres de A, vérifiant la relation (2.3.18) et formant une base propre de A.
L’opérateur hermitien A est appelé une observable si ce système de vecteurs orthonormés forme une base de l’espace E des vecteurs d’état.
Autrement dit, puisque E est un espace de Hilbert, le système orthonormé {|w j }
est total et tout vecteur de l’espace E peut être développé en série sur cette base.
3.2.4 Opérateurs de projection
a) Projecteur sur un vecteur
Considérons un vecteur |f de norme unité, soit f | f = 1. L’opérateur P f défini
par :
P f = |f f|
(3.2.18)