3.2 Espace des états quantiques
57
b) Espace dual
Soit F une forme linéaire qui à tout vecteur |c de E r fait correspondre un nombre
complexe noté F(|c). L’ensemble des formes F constitue l’espace dual de E r , noté
E
∗
r ; ce dernier est également un espace vectoriel. Les formes linéaires sont encore
appelées des fonctionnelles linéaires.
On notera par le symbole | tout élément de E
∗
r ; ainsi F| désigne la forme
linéaire F. Un élément quelconque de E
∗
r est appelé un vecteur bra ou simplement
un bra, dénomination donnée par Dirac. On a :
| = vecteur bra
(3.2.4)
Les termes bra et ket viennent du symbole | | qui, en anglais, s’appelle bracket
signifiant crochet.
c) Expression du produit scalaire
Tout vecteur ket |f permet de définir une forme linéaire qui à tout ket |c fait correspondre linéairement le nombre complexe égal au produit scalaire |f, |c.
Cette forme linéaire est un vecteur de l’espace dual et nous la noterons f|. Utilisons alors la notation f | c pour désigner le nombre complexe égal au produit
scalaire. On a donc, par définition, selon (3.2.3) :
f | c = |f, |c = f(r), c(r)
(3.2.5)
Écrivons les propriétés (2.1.9) à (2.1.12) du produit scalaire pour les vecteurs d’état,
en utilisant la notation de Dirac. On obtient :
f | c = c | f
∗
(3.2.6)
f | c + h = f | c + f | h
(3.2.7)
f | lc = lf | c
(3.2.8)
f | f > 0 si |f = 0
( 3 .2.9)
La propriété (2.1.14) du produit scalaire s’écrit :
lf | c = l
∗
f | c
(3.2.10)
Si |c est un vecteur ket, alors l|c est également un ket qu’on peut noter |lc, soit :
l|c = |lc
(3.2.11)
Au vecteur |lc correspond le vecteur bra lc| mais la propriété (3.2.10) montre
qu’on doit écrire :
lc| = l
∗
c|
(3.2.12)
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b) Espace dual
Soit F une forme linéaire qui à tout vecteur |c de E r fait correspondre un nombre
complexe noté F(|c). L’ensemble des formes F constitue l’espace dual de E r , noté
E
∗
r ; ce dernier est également un espace vectoriel. Les formes linéaires sont encore
appelées des fonctionnelles linéaires.
On notera par le symbole | tout élément de E
∗
r ; ainsi F| désigne la forme
linéaire F. Un élément quelconque de E
∗
r est appelé un vecteur bra ou simplement
un bra, dénomination donnée par Dirac. On a :
| = vecteur bra
(3.2.4)
Les termes bra et ket viennent du symbole | | qui, en anglais, s’appelle bracket
signifiant crochet.
c) Expression du produit scalaire
Tout vecteur ket |f permet de définir une forme linéaire qui à tout ket |c fait correspondre linéairement le nombre complexe égal au produit scalaire |f, |c.
Cette forme linéaire est un vecteur de l’espace dual et nous la noterons f|. Utilisons alors la notation f | c pour désigner le nombre complexe égal au produit
scalaire. On a donc, par définition, selon (3.2.3) :
f | c = |f, |c = f(r), c(r)
(3.2.5)
Écrivons les propriétés (2.1.9) à (2.1.12) du produit scalaire pour les vecteurs d’état,
en utilisant la notation de Dirac. On obtient :
f | c = c | f
∗
(3.2.6)
f | c + h = f | c + f | h
(3.2.7)
f | lc = lf | c
(3.2.8)
f | f > 0 si |f = 0
( 3 .2.9)
La propriété (2.1.14) du produit scalaire s’écrit :
lf | c = l
∗
f | c
(3.2.10)
Si |c est un vecteur ket, alors l|c est également un ket qu’on peut noter |lc, soit :
l|c = |lc
(3.2.11)
Au vecteur |lc correspond le vecteur bra lc| mais la propriété (3.2.10) montre
qu’on doit écrire :
lc| = l
∗
c|
(3.2.12)