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3 • Formalisme de la mécanique quantique
Pour noter un état quantique particulier, nous mettrons à l’intérieur de ce symbole
un ou plusieurs chiffres ou lettres. Par exemple, si c n (r) est une fonction d’onde
d’une particule, nous associerons à c n (r) un vecteur d’état noté :
|c n ou |n
(3.2.1)
Remarquons qu’il n’apparaît plus dans le symbole |c n de dépendance par rapport
à la variable r mais seulement la notation c n qui caractérise un état quantique particulier. À chaque fonction d’onde, on peut ainsi faire correspondre un vecteur d’état.
Les vecteurs d’état possèdent des propriétés générales indépendantes d’une réalisation particulière, ce qui fait leur intérêt. De plus, cette notion de vecteur d’état permet
une généralisation à des états non descriptibles par des fonctions classiques.
Un vecteur d’état est appelé un vecteur ket ou simplement un ket, dénomination
introduite par Dirac.
➤ Principe de superposition
Pour construire la théorie quantique à partir de la notion de vecteur d’état, il faut
poser comme principe fondamental le principe de superposition des états quantiques.
Cela signifie que toute combinaison linéaire des vecteurs d’état redonne un vecteur
d’état. On transpose ainsi une propriété fondamentale des fonctions d’onde.
Soit, par exemple, deux vecteurs d’états |c 1 et |c 2 , et deux nombres complexes
l 1 et l 2 ; la combinaison linéaire :
|c 3 = l 1 |c 1 + l 2 |c 2
(3.2.2)
est un vecteur d’état. L’ensemble des vecteurs d’état forme un espace vectoriel ; nous
noterons E r cet espace vectoriel. C’est un espace abstrait qui est isomorphe à l’espace F des fonctions d’onde c(r). Par suite de cette correspondance biunivoque entre
les deux espaces, les propriétés de l’espace de Hilbert F se retrouvent dans l’espace
E r .
3.2.2 Produit scalaire
a) Espace de Hilbert
A tout couple de vecteurs d’état |c et |f, pris dans cet ordre, on peut associer un
produit scalaire. Dans l’espace E r , le produit scalaire de deux vecteurs d’état est, par
définition, égal à celui défini par (3.1.2) pour les fonctions d’onde. On a donc :
|f, |c = f(r), c(r)
(3.2.3)
L’espace E r muni du produit scalaire est un espace abstrait de Hilbert de dimension
infinie. Pour un système quantique quelconque, on notera simplement E l’espace de
Hilbert de ses vecteurs d’état.
3 • Formalisme de la mécanique quantique
Pour noter un état quantique particulier, nous mettrons à l’intérieur de ce symbole
un ou plusieurs chiffres ou lettres. Par exemple, si c n (r) est une fonction d’onde
d’une particule, nous associerons à c n (r) un vecteur d’état noté :
|c n ou |n
(3.2.1)
Remarquons qu’il n’apparaît plus dans le symbole |c n de dépendance par rapport
à la variable r mais seulement la notation c n qui caractérise un état quantique particulier. À chaque fonction d’onde, on peut ainsi faire correspondre un vecteur d’état.
Les vecteurs d’état possèdent des propriétés générales indépendantes d’une réalisation particulière, ce qui fait leur intérêt. De plus, cette notion de vecteur d’état permet
une généralisation à des états non descriptibles par des fonctions classiques.
Un vecteur d’état est appelé un vecteur ket ou simplement un ket, dénomination
introduite par Dirac.
➤ Principe de superposition
Pour construire la théorie quantique à partir de la notion de vecteur d’état, il faut
poser comme principe fondamental le principe de superposition des états quantiques.
Cela signifie que toute combinaison linéaire des vecteurs d’état redonne un vecteur
d’état. On transpose ainsi une propriété fondamentale des fonctions d’onde.
Soit, par exemple, deux vecteurs d’états |c 1 et |c 2 , et deux nombres complexes
l 1 et l 2 ; la combinaison linéaire :
|c 3 = l 1 |c 1 + l 2 |c 2
(3.2.2)
est un vecteur d’état. L’ensemble des vecteurs d’état forme un espace vectoriel ; nous
noterons E r cet espace vectoriel. C’est un espace abstrait qui est isomorphe à l’espace F des fonctions d’onde c(r). Par suite de cette correspondance biunivoque entre
les deux espaces, les propriétés de l’espace de Hilbert F se retrouvent dans l’espace
E r .
3.2.2 Produit scalaire
a) Espace de Hilbert
A tout couple de vecteurs d’état |c et |f, pris dans cet ordre, on peut associer un
produit scalaire. Dans l’espace E r , le produit scalaire de deux vecteurs d’état est, par
définition, égal à celui défini par (3.1.2) pour les fonctions d’onde. On a donc :
|f, |c = f(r), c(r)
(3.2.3)
L’espace E r muni du produit scalaire est un espace abstrait de Hilbert de dimension
infinie. Pour un système quantique quelconque, on notera simplement E l’espace de
Hilbert de ses vecteurs d’état.