3.2 Espace des états quantiques
55
décrit par w a (r), sa valeur comprise dans l’intervalle situé entre a et a + da. C’est la
généralisation du spectre discret pour lequel le carré |a n |
2 définit la probabilité de la
valeur propre a n . La somme des probabilités étant égale à l’unité, on a :
|c a |
2 da = 1
( 3 .1.15)
En fait, pour traiter de manière rigoureuse le spectre continu, il faut définir les opérateurs de la mécanique quantique comme des opérateurs agissant sur des distributions ; les solutions propres d’un opérateur hermitien sont alors des distributions
particulières. Comme nous étudierons essentiellement les spectres discrets, nous ne
développerons pas le cas des spectres continus.
➤ Spectre discret et continu
Il existe également des opérateurs A possédant à la fois un spectre discret pour certaines valeurs propres et un spectre continu pour d’autres. C’est alors l’ensemble de
ces « fonctions » propres des deux spectres qui forme une base de l’espace F des
fonctions d’onde. Une fonction c(r) quelconque de F s’écrit sous la forme :
c(r) =
n
a n w n (r) +
c a w a (r) da
(3.1.16)
où la sommation sur n est étendue au spectre discret et l’intégration au spectre
continu.
Les fonctions propres de l’opérateur A, bien qu’en nombre infini, ne forment pas
une base de F . Cependant, l’équation aux valeurs propres :
AT a = lT a
(3.1.17)
peut admettre des solutions qui sont des distributions propres et qui « complètent »
la suite des fonctions propres, en ce sens que l’ensemble des solutions de l’équation
(3.1.17) forme une base de F .
3.2 ESPACE DES ÉTATS QUANTIQUES
3.2.1 Vecteur d’état
Une fonction d’onde c(r), associée à une particule, représente une certaine réalité
physique qui est l’état quantique dans lequel se trouve cette particule. Nous venons
de voir que cette fonction d’onde peut être représentée sous diverses formes mathématiques mais ces dernières ne font évidemment que décrire une seule réalité
physique.
On peut donc noter par un symbole l’état quantique d’une particule sans se référer
à une réalisation particulière. C’est ce qu’on va faire : tout état quantique d’une
particule sera caractérisé par le symbole | | que nous appellerons le vecteur d’état
de la particule.
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décrit par w a (r), sa valeur comprise dans l’intervalle situé entre a et a + da. C’est la
généralisation du spectre discret pour lequel le carré |a n |
2 définit la probabilité de la
valeur propre a n . La somme des probabilités étant égale à l’unité, on a :
|c a |
2 da = 1
( 3 .1.15)
En fait, pour traiter de manière rigoureuse le spectre continu, il faut définir les opérateurs de la mécanique quantique comme des opérateurs agissant sur des distributions ; les solutions propres d’un opérateur hermitien sont alors des distributions
particulières. Comme nous étudierons essentiellement les spectres discrets, nous ne
développerons pas le cas des spectres continus.
➤ Spectre discret et continu
Il existe également des opérateurs A possédant à la fois un spectre discret pour certaines valeurs propres et un spectre continu pour d’autres. C’est alors l’ensemble de
ces « fonctions » propres des deux spectres qui forme une base de l’espace F des
fonctions d’onde. Une fonction c(r) quelconque de F s’écrit sous la forme :
c(r) =
n
a n w n (r) +
c a w a (r) da
(3.1.16)
où la sommation sur n est étendue au spectre discret et l’intégration au spectre
continu.
Les fonctions propres de l’opérateur A, bien qu’en nombre infini, ne forment pas
une base de F . Cependant, l’équation aux valeurs propres :
AT a = lT a
(3.1.17)
peut admettre des solutions qui sont des distributions propres et qui « complètent »
la suite des fonctions propres, en ce sens que l’ensemble des solutions de l’équation
(3.1.17) forme une base de F .
3.2 ESPACE DES ÉTATS QUANTIQUES
3.2.1 Vecteur d’état
Une fonction d’onde c(r), associée à une particule, représente une certaine réalité
physique qui est l’état quantique dans lequel se trouve cette particule. Nous venons
de voir que cette fonction d’onde peut être représentée sous diverses formes mathématiques mais ces dernières ne font évidemment que décrire une seule réalité
physique.
On peut donc noter par un symbole l’état quantique d’une particule sans se référer
à une réalisation particulière. C’est ce qu’on va faire : tout état quantique d’une
particule sera caractérisé par le symbole | | que nous appellerons le vecteur d’état
de la particule.