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3 • Formalisme de la mécanique quantique
distributions propres de Q est donné par l’égalité :
c
2 =
∞
−∞
||d a , c|
2 da =
∞
−∞
|c(a)|
2 da
(3.1.10)
Remarquons que le symbole d a , c n’est pas ici un produit scalaire et ne peut donc
pas être représenté par une intégrale d’une quelconque fonction. Puisque le nombre
a prend toutes les valeurs sur R, on peut remplacer a par x et écrire :
d x , c = c(x)
( 3 .1.11)
Les valeurs c(x) peuvent donc être considérées comme les composantes de la fonction c sur la base {d x }. On dit que c(x) constitue la réalisation-x de la fonction
d’onde de la particule sur la base {d x }.
Pour une fonction c(r) définie dans l’espace à trois dimensions, on peut utiliser
de même une base formée par les distributions à trois dimensions d r telles que :
d r , c = c(r)
( 3 .1.12)
On dit que c(r) constitue la réalisation-r de la fonction d’onde de la particule sur la
base {d r } ; cette réalisation est encore appelée la réalisation-coordonnées.
3.1.5 Réalisation-w a
Un opérateur A peut avoir un spectre continu de valeurs propres a. À toute valeur de
a correspond une fonction propre w a et ces fonctions forment un ensemble continu.
De même que les fonctions f p (x) données par (3.1.6) forment une base continue
de l’espace vectoriel F , les fonctions w a peuvent éventuellement former une base
continue de F . Un état arbitraire c(r) peut être développé sur cette base sous la
forme :
c(r) =
c a w a (r) da
(3.1.13)
l’intégration étant étendue à l’ensemble des valeurs que peut prendre a. Les coefficients sont obtenus sous la forme :
c a = w a (r), c(r) =
w
∗
a (r) c(r) d
3 r
(3.1.14)
formule qui généralise l’expression (3.1.4). Les coefficients c a peuvent être considérés comme les composantes de c(r) et constituent la réalisation-w a de la fonction
d’onde sur la base {w a (r)}.
➤ Normalisation des fonctions propres
La normalisation des fonctions propres du spectre continu est plus délicate car la
condition d’égalité à l’unité de l’intégrale du carré du module de la fonction n’est pas
réalisable dans ce cas. Les fonctions d’onde w a (r) sont alors normalisées de sorte que
|c a |
2 da représente la probabilité que la grandeur physique considérée ait, dans l’état
3 • Formalisme de la mécanique quantique
distributions propres de Q est donné par l’égalité :
c
2 =
∞
−∞
||d a , c|
2 da =
∞
−∞
|c(a)|
2 da
(3.1.10)
Remarquons que le symbole d a , c n’est pas ici un produit scalaire et ne peut donc
pas être représenté par une intégrale d’une quelconque fonction. Puisque le nombre
a prend toutes les valeurs sur R, on peut remplacer a par x et écrire :
d x , c = c(x)
( 3 .1.11)
Les valeurs c(x) peuvent donc être considérées comme les composantes de la fonction c sur la base {d x }. On dit que c(x) constitue la réalisation-x de la fonction
d’onde de la particule sur la base {d x }.
Pour une fonction c(r) définie dans l’espace à trois dimensions, on peut utiliser
de même une base formée par les distributions à trois dimensions d r telles que :
d r , c = c(r)
( 3 .1.12)
On dit que c(r) constitue la réalisation-r de la fonction d’onde de la particule sur la
base {d r } ; cette réalisation est encore appelée la réalisation-coordonnées.
3.1.5 Réalisation-w a
Un opérateur A peut avoir un spectre continu de valeurs propres a. À toute valeur de
a correspond une fonction propre w a et ces fonctions forment un ensemble continu.
De même que les fonctions f p (x) données par (3.1.6) forment une base continue
de l’espace vectoriel F , les fonctions w a peuvent éventuellement former une base
continue de F . Un état arbitraire c(r) peut être développé sur cette base sous la
forme :
c(r) =
c a w a (r) da
(3.1.13)
l’intégration étant étendue à l’ensemble des valeurs que peut prendre a. Les coefficients sont obtenus sous la forme :
c a = w a (r), c(r) =
w
∗
a (r) c(r) d
3 r
(3.1.14)
formule qui généralise l’expression (3.1.4). Les coefficients c a peuvent être considérés comme les composantes de c(r) et constituent la réalisation-w a de la fonction
d’onde sur la base {w a (r)}.
➤ Normalisation des fonctions propres
La normalisation des fonctions propres du spectre continu est plus délicate car la
condition d’égalité à l’unité de l’intégrale du carré du module de la fonction n’est pas
réalisable dans ce cas. Les fonctions d’onde w a (r) sont alors normalisées de sorte que
|c a |
2 da représente la probabilité que la grandeur physique considérée ait, dans l’état