3.1 Réalisations des fonctions d’onde
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L’intégrale (3.1.5) peut alors s’écrire sous la forme du produit scalaire :
F(p) = f p , c =
∞
−∞
f
∗
p (x) c(x) dx
(3.1.7)
D’autre part, la transformée inverse de Fourier s’écrit :
c(x) =
∞
−∞
F( p) f p (x) dp
(3.1.8)
b) Base continue
Comparant la relation (3.1.8) à l’expression (3.1.3), on peut considérer que l’ensemble { f p (x)} constitue une « base » continue — chaque fonction de cette base
étant repérée par un indice continu — sur laquelle on a développé la fonction c(x).
La somme (3.1.3) se trouve alors remplacée par une intégrale ; la composante F( p)
correspond au vecteur de base f p (x) et est obtenue par le produit scalaire (3.1.7).
L’analogie est ainsi complète entre le développement sous forme d’une somme discrète et celui sous forme d’une intégrale. L’ensemble { f p (x)} peut donc être considéré comme une base continue.
Remarquons que les fonctions f p (x) ne sont pas de carré intégrable puisque l’intégrale de | f p (x)|
2 , de −∞ à ∞, diverge. Ces fonctions n’appartiennent donc pas
à l’espace F des fonctions d’onde mais elles peuvent néanmoins servir de base de
développement pour les vecteurs de F . C’est une particularité des espaces de dimension infinie.
c) Réalisation-p à trois dimensions
Les fonctions f p (x)e
−iEt/ = Ae
i( px−Et)/ peuvent être interprétées comme des ondes
planes d’amplitude A = 1/
√
2p , de vecteur d’onde p/ , et de pulsation E/ . La
connaissance des composantes F( p) est équivalente à celle de c(x) ; on dit que F( p)
constitue la réalisation-p de la fonction d’onde de la particule sur la base { f p (x)}.
Pour des fonctions d’onde c(r), on peut définir de même la transformée de Fourier
F(p), où p/ est le vecteur d’onde. On a :
F(p) = f p (r), c(r) =
1
(2p ) 3/2
c(r) exp(−ip · r/ ) d
3 r
(3.1.9)
La fonction F(p) constitue la réalisation-p de la fonction d’onde de la particule sur
la base { f p (r)}.
3.1.4 Réalisation-r r r
Considérons les distributions propres d a de l’opérateur Q, opérateur multiplication
par x, défini par (2.4.12). Si c(x) est une fonction de L
2 (R), la distribution d a est
telle que : d a , c = c(a). Le caractère total, défini par (2.4.10), de la suite des
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L’intégrale (3.1.5) peut alors s’écrire sous la forme du produit scalaire :
F(p) = f p , c =
∞
−∞
f
∗
p (x) c(x) dx
(3.1.7)
D’autre part, la transformée inverse de Fourier s’écrit :
c(x) =
∞
−∞
F( p) f p (x) dp
(3.1.8)
b) Base continue
Comparant la relation (3.1.8) à l’expression (3.1.3), on peut considérer que l’ensemble { f p (x)} constitue une « base » continue — chaque fonction de cette base
étant repérée par un indice continu — sur laquelle on a développé la fonction c(x).
La somme (3.1.3) se trouve alors remplacée par une intégrale ; la composante F( p)
correspond au vecteur de base f p (x) et est obtenue par le produit scalaire (3.1.7).
L’analogie est ainsi complète entre le développement sous forme d’une somme discrète et celui sous forme d’une intégrale. L’ensemble { f p (x)} peut donc être considéré comme une base continue.
Remarquons que les fonctions f p (x) ne sont pas de carré intégrable puisque l’intégrale de | f p (x)|
2 , de −∞ à ∞, diverge. Ces fonctions n’appartiennent donc pas
à l’espace F des fonctions d’onde mais elles peuvent néanmoins servir de base de
développement pour les vecteurs de F . C’est une particularité des espaces de dimension infinie.
c) Réalisation-p à trois dimensions
Les fonctions f p (x)e
−iEt/ = Ae
i( px−Et)/ peuvent être interprétées comme des ondes
planes d’amplitude A = 1/
√
2p , de vecteur d’onde p/ , et de pulsation E/ . La
connaissance des composantes F( p) est équivalente à celle de c(x) ; on dit que F( p)
constitue la réalisation-p de la fonction d’onde de la particule sur la base { f p (x)}.
Pour des fonctions d’onde c(r), on peut définir de même la transformée de Fourier
F(p), où p/ est le vecteur d’onde. On a :
F(p) = f p (r), c(r) =
1
(2p ) 3/2
c(r) exp(−ip · r/ ) d
3 r
(3.1.9)
La fonction F(p) constitue la réalisation-p de la fonction d’onde de la particule sur
la base { f p (r)}.
3.1.4 Réalisation-r r r
Considérons les distributions propres d a de l’opérateur Q, opérateur multiplication
par x, défini par (2.4.12). Si c(x) est une fonction de L
2 (R), la distribution d a est
telle que : d a , c = c(a). Le caractère total, défini par (2.4.10), de la suite des