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3 • Formalisme de la mécanique quantique
➤ Produit scalaire
Soient c(r) et f(r) deux vecteurs de F . On munit l’espace vectoriel F du produit
scalaire défini par :
c(r), f(r) =
c
∗ (r)f(r) d
3 r
(3.1.2)
Puisque c(r) et f(r) sont de carré intégrable, l’intégrale (3.1.2) existe.
3.1.2 Réalisation-w n
Une réalisation est un mode de description des vecteurs d’un espace vectoriel obtenu
en choisissant une base, discrète ou continue, de cet espace. La réalisation-w n des
vecteurs de F est celle qui consiste à choisir une base discrète formée de fonctions
d’onde w n .
Soit {w n (r)} une suite orthonormée de fonctions. Si toute fonction c(r) de l’espace
F peut être développée d’une manière unique sous la forme d’une série convergente,
donnée par (2.4.8) :
c(r) =
∞
n=0
a n w n (r)
( 3 .1.3)
alors l’ensemble {w n (r)} constitue une base orthonormée de F . La suite {w n (r)}
forme un système orthonormé total et on a :
a n = w n , c =
w
∗
n (r) c(r) d
3 r
(3.1.4)
Les coefficients a n sont les composantes de c(r) sur la base {w n (r)}. La connaissance
de la base {w n (r)} et de l’ensemble des composantes est équivalente à celle de c(r) ;
l’ensemble de ces composantes constitue la réalisation −w n de la fonction d’onde de
la particule sur la base {w n (r)}.
3.1.3 Réalisation-p p p
Le développement d’une fonction d’onde c(r) sur une base discrète n’est pas le seul
type possible de décomposition. D’autres types de « bases » peuvent être utilisés.
a) Utilisation de la transformée de Fourier
Considérons, par exemple, la transformée de Fourier d’une fonction c(x) :
F(p) =
1
√
2p
∞
−∞
c(x)e
−i px/ dx
(3.1.5)
Soit f p (x), la fonction définie par :
f p (x) =
e
i px/
√
2p
(3.1.6)