Chapitre 3
Formalisme de la mécanique
quantique
3.1 RÉALISATIONS DES FONCTIONS D’ONDE
3.1.1 Espace vectoriel des fonctions d’onde
Les fonctions d’onde, dont la norme décrit une réalité physique, sont des fonctions
de carré intégrable. Pour une particule dont l’état est décrit par la fonction d’onde
c(r, t), la quantité |c(r, t)|
2 d
3 r représente la probabilité de trouver cette particule
dans un volume d
3 r autour du point r, à l’instant t. Par suite, la probabilité totale de
trouver la particule dans tout l’espace est égale à l’unité, d’où :
c
∗ (r, t) c(r, t)d
3 r = 1
( 3 .1.1)
où l’intégration est étendue à tout l’espace.
Nous avons vu que les fonctions de carré intégrable peuvent constituer un espace
vectoriel L
2 (R) de dimension infinie. En général, les fonctions d’onde possèdent
certaines propriétés qui permettent de les considérer comme formant un sous-espace
de L
2 (R). Les fonctions d’onde seront supposées continues, possédant des dérivées
premières et secondes continues, de carré intégrable sur leur domaine de définition.
Ces fonctions constituent un sous-espace vectoriel, noté F , de l’espace L
2 (R).
On pourra se limiter aux fonctions à support borné lorsqu’on étudiera des particules localisées dans un espace fini et l’intégration (3.1.1) sera faite sur un domaine
limité.