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2 • Opérateurs linéaires
3. Montrer qu’une condition suffisante pour que les matrices A et B commutent est :
exp(A) exp(B) = exp(A + B)
(2)
Solution.
1. Les éléments de A
2 sont donnés par : a
(2)
ij =
n
k=1
a ik a kj . La majoration |a ij | M entraîne :
|a
(2)
ij |
n
k=1
|a ik | |a kj | nM
2 . De même : |a
(3)
ij | n
2 M
3 , d’où par récurrence :
|a
(k)
ij | n
k−1 M
k
(3)
2. La série S ij est majorée en module par la série :
1 +
M
1!
+
nM
2
2!
+ · · · +
n
k−1 M
k
k!
+ · · ·
(4)
qui peut aussi s’écrire :
n − 1
n
+
1
n
1 +
n M
1!
+
n
2 M
2
2!
+ · · · +
n
k M
k
k!
+ · · ·
. Cette dernière
série converge vers :
n − 1
n
+
1
n
e
nM
(5)
et la série S ij converge absolument. Par conséquent, puisque pour toute matrice A d’ordre fini
on peut trouver un majorant tel que |a ij | M, la matrice exp(A) est parfaitement définie pour
toute matrice A d’ordre n.
3. Supposons que les matrices A et B commutent ; on en déduit :
(A + B)
2 = A
2 + 2AB + B
2 et par récurrence : (A + B)
m =
m
k=0
C
k
m A
k B
m−k .
On a d’autre part pour les éléments matriciels :
(e
A e
B ) ij =
n
k=1
(e
A ) ik (e
B ) kj
(6)
Les deux quantités du second membre sont représentées par des séries de la forme S ij , chacune
étant absolument convergente ; on peut donc effectuer la multiplication de ces deux séries. Si
l’on effectue directement le produit des matrices, on obtient :
e
A e
B =
∞
k=0
A
k
k!
∞
l=0
B
l
l!
=
∞
m=0
m
k=0
C
k
m A
k B
m−k
1
m!
(7)
On voit apparaître le terme (A + B)
m calculé précédemment, d’où :
e
A e
B =
∞
m=0
(A + B)
m
m!
= e
A+B
(8)