Exercices
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D’autre part :
Ac, Ac = lc, lc = |l|
2
c, c
(2)
Les relations (1) et (2) donnent : |l|
2 = 1. Les valeurs propres de A sont donc les nombres
complexes e
ia .
2. Par hypothèse, Ac 1 = l 1 c 1 , Ac 2 = l 2 c 2 avec l 1 = l 2 . Effectuons le produit scalaire :
Ac 1 , Ac 2 = c 1 , c 2 = l 1 c 1 , l 2 c 2 = l
∗
1 l 2 c 1 , c 2
(3)
Pour que l’égalité (3) soit vérifiée entre le deuxième et le dernier terme, il faut que
l
∗
1 l 2 = 1 ou c 1 , c 2 = 0. Les valeurs propres étant de la forme e
ia , on a l 1 = exp(ia 1 ),
l 2 = exp(ia 2 ), et la relation (3) nous donne :
c 1 , c 2 = exp (i(a 2 − a 1 )) c 1 , c 2
(4)
Dans le cas général, la quantité (a 2 − a 1 ) est quelconque, et l’on a l
∗
1 l 2 = 1, d’où :
c 1 , c 2 = 0. Par contre, lorsque (a 2 − a 1 ) = 2np, où n est un entier, on a : l
∗
1 l 2 = 1. Dans
ce cas, les valeurs propres sont nécessairement égales, soit l 1 = l 2 , ce qui est contraire à
l’hypothèse, et par suite : c 1 , c 2 = 0. Les vecteurs propres c 1 et c 2 sont bien orthogonaux
entre eux.
3. L’adjoint A
† (´) a pour développement au voisinage de l’opérateur unité :
A
† (´) = 1 1 + ´G
† + · · ·
(5)
Utilisons la propriété (2.1.33) d’unitarité de A(´) en formant les produits :
A(´)A
† (´) = A
† (´)A(´) = 1 1 + ´(G + G
† ) + · · · = 1 1
(6)
Il en résulte que : (G + G
† ) = 0. L’opérateur G est donc antihermitien.
4. Posons : F = iG ; on obtient ainsi : F − F
† = 0, ce qui montre que F est hermitien.
L’opérateur unitaire infinitésimal A(´) peut donc être écrit sous la forme :
A(´) = 1 1 − i´F
(7)
Exercice 2.4. Fonction exp(A) d’une matrice carrée A
Soit A une matrice carrée d’ordre n et d’éléments a ij ; on notera a
(k)
ij les
éléments de la matrice A
k .
1. De la majoration évidente |a ij | M, quels que soient i et j, déduire une
majoration pour a
(2)
ij , a
(3)
ij , puis pour a
(k)
ij .
2. Si les n
2 séries numériques : S ij = d ij +
a ij
1!
+
a
(2)
ij
2!
+ · · · +
a
(k)
ij
k!
+ · · ·
convergent, on dira que la série matricielle :
exp(A) = 1 1 +
A
1!
+
A
2
2!
+ · · · +
A
k
k!
+ · · ·
(1)
converge et on notera exp(A) la matrice formée par la somme de cette série. En utilisant la majoration des a
(k)
ij montrer que la série notée exp(A)
converge pour toute matrice A d’ordre fini.
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D’autre part :
Ac, Ac = lc, lc = |l|
2
c, c
(2)
Les relations (1) et (2) donnent : |l|
2 = 1. Les valeurs propres de A sont donc les nombres
complexes e
ia .
2. Par hypothèse, Ac 1 = l 1 c 1 , Ac 2 = l 2 c 2 avec l 1 = l 2 . Effectuons le produit scalaire :
Ac 1 , Ac 2 = c 1 , c 2 = l 1 c 1 , l 2 c 2 = l
∗
1 l 2 c 1 , c 2
(3)
Pour que l’égalité (3) soit vérifiée entre le deuxième et le dernier terme, il faut que
l
∗
1 l 2 = 1 ou c 1 , c 2 = 0. Les valeurs propres étant de la forme e
ia , on a l 1 = exp(ia 1 ),
l 2 = exp(ia 2 ), et la relation (3) nous donne :
c 1 , c 2 = exp (i(a 2 − a 1 )) c 1 , c 2
(4)
Dans le cas général, la quantité (a 2 − a 1 ) est quelconque, et l’on a l
∗
1 l 2 = 1, d’où :
c 1 , c 2 = 0. Par contre, lorsque (a 2 − a 1 ) = 2np, où n est un entier, on a : l
∗
1 l 2 = 1. Dans
ce cas, les valeurs propres sont nécessairement égales, soit l 1 = l 2 , ce qui est contraire à
l’hypothèse, et par suite : c 1 , c 2 = 0. Les vecteurs propres c 1 et c 2 sont bien orthogonaux
entre eux.
3. L’adjoint A
† (´) a pour développement au voisinage de l’opérateur unité :
A
† (´) = 1 1 + ´G
† + · · ·
(5)
Utilisons la propriété (2.1.33) d’unitarité de A(´) en formant les produits :
A(´)A
† (´) = A
† (´)A(´) = 1 1 + ´(G + G
† ) + · · · = 1 1
(6)
Il en résulte que : (G + G
† ) = 0. L’opérateur G est donc antihermitien.
4. Posons : F = iG ; on obtient ainsi : F − F
† = 0, ce qui montre que F est hermitien.
L’opérateur unitaire infinitésimal A(´) peut donc être écrit sous la forme :
A(´) = 1 1 − i´F
(7)
Exercice 2.4. Fonction exp(A) d’une matrice carrée A
Soit A une matrice carrée d’ordre n et d’éléments a ij ; on notera a
(k)
ij les
éléments de la matrice A
k .
1. De la majoration évidente |a ij | M, quels que soient i et j, déduire une
majoration pour a
(2)
ij , a
(3)
ij , puis pour a
(k)
ij .
2. Si les n
2 séries numériques : S ij = d ij +
a ij
1!
+
a
(2)
ij
2!
+ · · · +
a
(k)
ij
k!
+ · · ·
convergent, on dira que la série matricielle :
exp(A) = 1 1 +
A
1!
+
A
2
2!
+ · · · +
A
k
k!
+ · · ·
(1)
converge et on notera exp(A) la matrice formée par la somme de cette série. En utilisant la majoration des a
(k)
ij montrer que la série notée exp(A)
converge pour toute matrice A d’ordre fini.