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2 • Opérateurs linéaires
d’où : f , X
† g = f , Xg. L’opérateur adjoint X
† de X est donc égal à X, soit : X
† = X.
L’opérateur x est donc hermitien. Il en sera de même pour tout opérateur multiplication par
une fonction V(x) à valeurs réelles.
2. On a le produit scalaire suivant qu’on intègre par parties :
d
dx
f , g
=
∞
−∞
d
dx
f (x)
∗
g(x) dx =
f
∗ (x) g(x)
∞
−∞
−
∞
−∞
f
∗ (x)
d
dx
g(x) dx (3)
Les fonctions f (x) et g(x) étant de carré intégrable, deviennent nulles à l’infini et le terme
intégré disparaît, d’où :
d
dx
f , g
= −
∞
−∞
f
∗ (x)
d
dx
g(x) dx =
f , −
d
dx
g(x)
(4)
Puisque
d
dx
f , g
=
f ,
d
dx
†
g
, l’opérateur adjoint de d/dx est :
d
dx
†
= −
d
dx
(5)
Selon (2.1.22), on a (lA)
† = l
∗ A
† , d’où :
i
d
dx
†
= i
∗
d
dx
†
= i
d
dx
(6)
L’opérateur id/dx est donc un opérateur hermitien.
3. Le produit de deux opérateurs hermitiens qui commutent est un opérateur hermitien puisqu’on a : (AB)
† = B
† A
† = BA = AB. Le produit d’un opérateur hermitien par lui-même est
donc hermitien et, par suite, l’opérateur (i∂/∂x)
2 = −∂
2 /∂x
2 est hermitien, de même que
∂
2 /∂x
2 . Il en est de même pour ∂
2 /∂y
2 et ∂
2 /∂z
2 . En conséquence l’opérateur laplacien D
est hermitien.
Exercice 2.3. Opérateur unitaire
1. Soit A un opérateur unitaire. Déterminer les valeurs propres de A.
2. Démontrer que deux vecteurs propres associées à deux valeurs propres
de A différentes sont orthogonales entre elles.
3. Soit A(´) un opérateur unitaire dépendant d’une quantité réelle infiniment petite ´. Par hypothèse A(´) → 1 1 lorsque ´ → 0. Si l’on développe
A(´) en série de puissance de ´ sous la forme : A(´) = 1 1+´G+· · · , montrer
que l’opérateur G est antihermitien.
4. Écrire l’opérateur infinitésimal A(´) au voisinage de l’opérateur unité
en fonction d’un opérateur hermitien que l’on déterminera.
Solution.
1. Si l est une valeur propre de A, les vecteurs propres c sont tels que : Ac = lc. L’opérateur
A étant unitaire, on a :
Ac, Ac = c, A
† Ac = c, c
(1)