Exercices
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Calculer le commutateur [X, P
2
x ]. En déduire l’expression du commutateur
[R, P
2 ].
2. Montrer que le commutateur d’une somme d’opérateurs est égal à la
somme des commutateurs, soit :
i
A i ,
k
B k
=
i,k
[A i , B k ]
(1)
Solution.
1. L’opérateur P
2
x a pour expression :
P
2
x =
−i
∂
∂x
2
= −
2 ∂
2
∂x 2
(2)
Faisons agir l’opérateur [X, P
2
x ] = (XP
2
x − P
2
x X) sur une fonction f (x, y, z). Le calcul des
dérivées donne :
[X, P
2
x ] = 2
2 ∂
∂x
= 2i P x
(3)
Les autres composantes [Y, P
2
y ], [Z, P
2
z ] du commutateur [R, P
2 ] ont des expressions analogues, d’où :
[R, P
2 ] = 2i P
(4)
2. Le développement du commutateur nous donne :
i
A i ,
k
B k
=
i
A i
k
B k −
k
B k
i
A i
=
i,k
A i B k −
k,i
B k A i =
i,k
(A i B k − B k A i ) =
i,k
[A i , B k ]
(5)
Exercice 2.2. Opérateurs hermitiens
Sur l’espace vectoriel des fonctions de carré intégrable, à valeurs complexes f (x) de la variable réelle x, on définit un produit scalaire :
f , g =
∞
−∞
f
∗ (x) g(x) dx
(1)
1. Calculer l’opérateur adjoint de l’opérateur X défini par : X f = x f . Cet
opérateur est-il hermitien ?
2. Calculer l’opérateur adjoint de d/dx. L’opérateur id/dx est-il hermitien ?
3. Montrer que l’opérateur laplacien est hermitien.
Solution.
1. Pour l’opérateur A = X, la définition (2.1.16) s’écrit : Xf , g = f , X
† g. Le produit
scalaire Xf , g donne :
Xf , g =
∞
−∞
(x f (x))
∗ g(x) dx =
∞
−∞
f
∗ (x) x g(x) dx = f , Xg
(2)