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2 • Opérateurs linéaires
dimension infinie, le nombre de valeurs propres peut être infini et l’ensemble de ces
valeurs peut être dénombrable ou continu.
D’autre part, dans un espace de Hilbert de dimension infinie, une équation aux
valeurs propres : Ac = lc, où A est un opérateur linéaire, peut n’avoir aucune
solution c différente de zéro.
Pour un espace de dimension finie, le nombre de vecteurs propres linéairement
indépendants associés à une même valeur propre est évidemment égal ou inférieur à
la dimension de l’espace. Par contre, pour un espace de Hilbert de dimension infinie,
il peut exister une suite infinie de vecteurs propres, linéairement indépendants, pour
une même valeur propre dont la dégénérescence est alors infinie.
Les propriétés essentielles des opérateurs hermitiens définis dans un espace de Hilbert de dimension infinie sont conservées : s’il existe des vecteurs propres associés
à des valeurs propres distinctes, ces vecteurs sont alors linéairement indépendants ;
les valeurs propres sont réelles ; les vecteurs propres associés à des valeurs propres
différentes sont orthogonaux.
b) Matrices infinies
Les éléments matriciels a ji d’une matrice d’un opérateur A agissant sur les vecteurs
d’un espace de Hilbert H de dimension infinie sont donnés par l’expression (2.3.7)
obtenue pour les espaces de dimension finie. Notons w j les vecteurs d’une base orthonormée de H , on a :
a ji = w j , Aw i
(2.4.16)
On obtient une infinité d’éléments matriciels qui servent à former une matrice infinie
avec la même règle de disposition que pour la matrice (2.3.6). Les opérations de
conjugaison complexe, de transposition, etc., s’étendent aux matrices infinies.
En ce qui concerne l’existence d’une matrice inverse, contrairement au cas des
matrices finies, le fait que AB = 1 1, n’entraîne pas nécessairement que BA = 1 1. Il
faut que les deux relations soient simultanément vérifiées pour qu’on puisse affirmer
que les matrices A et B sont inverses l’une de l’autre.
EXERCICES
Exercice 2.1. Commutateurs
1. Utilisons la notation suivante des opérateurs qui, selon la convention définie précédemment, seront toujours représentés par des lettres majuscules
en italique.
Soit le rayon vecteur : r = (x, y, z) ; notons X, Y, Z les opérateurs qui appliqués à une fonction f la multiplie par une variable, soit : X f = x f ,
Y f = y f , Z f = z f . L’opérateur noté R est le vecteur ayant pour composantes les opérateurs X, Y, Z. Notons le vecteur P = −i ∇ = (P x , P y , P z ).
2 • Opérateurs linéaires
dimension infinie, le nombre de valeurs propres peut être infini et l’ensemble de ces
valeurs peut être dénombrable ou continu.
D’autre part, dans un espace de Hilbert de dimension infinie, une équation aux
valeurs propres : Ac = lc, où A est un opérateur linéaire, peut n’avoir aucune
solution c différente de zéro.
Pour un espace de dimension finie, le nombre de vecteurs propres linéairement
indépendants associés à une même valeur propre est évidemment égal ou inférieur à
la dimension de l’espace. Par contre, pour un espace de Hilbert de dimension infinie,
il peut exister une suite infinie de vecteurs propres, linéairement indépendants, pour
une même valeur propre dont la dégénérescence est alors infinie.
Les propriétés essentielles des opérateurs hermitiens définis dans un espace de Hilbert de dimension infinie sont conservées : s’il existe des vecteurs propres associés
à des valeurs propres distinctes, ces vecteurs sont alors linéairement indépendants ;
les valeurs propres sont réelles ; les vecteurs propres associés à des valeurs propres
différentes sont orthogonaux.
b) Matrices infinies
Les éléments matriciels a ji d’une matrice d’un opérateur A agissant sur les vecteurs
d’un espace de Hilbert H de dimension infinie sont donnés par l’expression (2.3.7)
obtenue pour les espaces de dimension finie. Notons w j les vecteurs d’une base orthonormée de H , on a :
a ji = w j , Aw i
(2.4.16)
On obtient une infinité d’éléments matriciels qui servent à former une matrice infinie
avec la même règle de disposition que pour la matrice (2.3.6). Les opérations de
conjugaison complexe, de transposition, etc., s’étendent aux matrices infinies.
En ce qui concerne l’existence d’une matrice inverse, contrairement au cas des
matrices finies, le fait que AB = 1 1, n’entraîne pas nécessairement que BA = 1 1. Il
faut que les deux relations soient simultanément vérifiées pour qu’on puisse affirmer
que les matrices A et B sont inverses l’une de l’autre.
EXERCICES
Exercice 2.1. Commutateurs
1. Utilisons la notation suivante des opérateurs qui, selon la convention définie précédemment, seront toujours représentés par des lettres majuscules
en italique.
Soit le rayon vecteur : r = (x, y, z) ; notons X, Y, Z les opérateurs qui appliqués à une fonction f la multiplie par une variable, soit : X f = x f ,
Y f = y f , Z f = z f . L’opérateur noté R est le vecteur ayant pour composantes les opérateurs X, Y, Z. Notons le vecteur P = −i ∇ = (P x , P y , P z ).