2.4 Espaces de Hilbert
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L’opérateur Q est l’opérateur de multiplication par x. C’est un opérateur hermitien et
il n’a aucun vecteur propre dans L
2 (R). En effet, si les vecteurs propres c(x) de Q
existaient, ils seraient différents de zéro et tels que : Qc = ac. Cette équation aux
valeurs propres s’écrit sous la forme (x − a)c(x) = 0. Puisque le facteur (x − a) s’annule pour la seule valeur x = a, c(x) doit être nul presque partout sur R. Donc c(x)
est l’élément nul de L
2 (R) et l’opérateur Q n’a aucun vecteur propre dans L
2 (R).
Cependant l’équation (x − a)c(x) = 0 admet des solutions au sens des distributions. Notons d a la distribution de Dirac ; alors l’équation :
(x − a)T = 0
( 2 .4.13)
où T est une distribution, admet la solution :
T = cd a
(2.4.14)
si et seulement si a est un nombre réel ; c est une constante arbitraire.
Nous dirons que l’opérateur Q possède une distribution propre pour tout a réel.
Les nombres a sont appelés les valeurs propres généralisées de l’opérateur Q.
b) Système total de distributions propres
Un système de distributions propres d’un opérateur peut éventuellement admettre
des propriétés analogues à celles des bases orthonormées.
Notons T une distribution et T, c le nombre complexe que T fait correspondre
à toute fonction c de R
n , indéfiniment dérivable à décroissance rapide. On dit que
la suite continue de distributions propres T a , avec a ∈ R, forme un système total
orthonormé si :
c
2 =
∞
−∞
||T a , c|
2 da
(2.4.15)
quelle que soit la fonction c. Cette dernière relation généralise l’égalité de Parseval
(2.4.10) en considérant que la suite continue des nombres T a , c est l’analogue de
la suite discrète des composantes w j , f de f qui figurent dans (2.4.10). Les nombres
T a , c peuvent également être considérés comme les composantes de c.
2.4.5 Opérateurs linéaires et matrices
Les définitions données pour les opérateurs dans les espaces vectoriels de dimension
finie s’appliquent aux opérateurs dans les espaces de Hilbert de dimension infinie.
Cependant, certaines propriétés des opérateurs dans ces espaces ne sont pas la simple
généralisation de celles des opérateurs sur les espaces de dimension finie. Nous nous
limitons dans ce paragraphe à signaler quelques points particuliers.
a) Valeurs et vecteurs propres
Dans un espace de dimension finie, tout opérateur admet au moins un vecteur propre
et une valeur propre ; le nombre de valeurs propres distinctes est inférieur ou égal
à la dimension de l’espace. Pour un opérateur défini dans un espace de Hilbert de
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L’opérateur Q est l’opérateur de multiplication par x. C’est un opérateur hermitien et
il n’a aucun vecteur propre dans L
2 (R). En effet, si les vecteurs propres c(x) de Q
existaient, ils seraient différents de zéro et tels que : Qc = ac. Cette équation aux
valeurs propres s’écrit sous la forme (x − a)c(x) = 0. Puisque le facteur (x − a) s’annule pour la seule valeur x = a, c(x) doit être nul presque partout sur R. Donc c(x)
est l’élément nul de L
2 (R) et l’opérateur Q n’a aucun vecteur propre dans L
2 (R).
Cependant l’équation (x − a)c(x) = 0 admet des solutions au sens des distributions. Notons d a la distribution de Dirac ; alors l’équation :
(x − a)T = 0
( 2 .4.13)
où T est une distribution, admet la solution :
T = cd a
(2.4.14)
si et seulement si a est un nombre réel ; c est une constante arbitraire.
Nous dirons que l’opérateur Q possède une distribution propre pour tout a réel.
Les nombres a sont appelés les valeurs propres généralisées de l’opérateur Q.
b) Système total de distributions propres
Un système de distributions propres d’un opérateur peut éventuellement admettre
des propriétés analogues à celles des bases orthonormées.
Notons T une distribution et T, c le nombre complexe que T fait correspondre
à toute fonction c de R
n , indéfiniment dérivable à décroissance rapide. On dit que
la suite continue de distributions propres T a , avec a ∈ R, forme un système total
orthonormé si :
c
2 =
∞
−∞
||T a , c|
2 da
(2.4.15)
quelle que soit la fonction c. Cette dernière relation généralise l’égalité de Parseval
(2.4.10) en considérant que la suite continue des nombres T a , c est l’analogue de
la suite discrète des composantes w j , f de f qui figurent dans (2.4.10). Les nombres
T a , c peuvent également être considérés comme les composantes de c.
2.4.5 Opérateurs linéaires et matrices
Les définitions données pour les opérateurs dans les espaces vectoriels de dimension
finie s’appliquent aux opérateurs dans les espaces de Hilbert de dimension infinie.
Cependant, certaines propriétés des opérateurs dans ces espaces ne sont pas la simple
généralisation de celles des opérateurs sur les espaces de dimension finie. Nous nous
limitons dans ce paragraphe à signaler quelques points particuliers.
a) Valeurs et vecteurs propres
Dans un espace de dimension finie, tout opérateur admet au moins un vecteur propre
et une valeur propre ; le nombre de valeurs propres distinctes est inférieur ou égal
à la dimension de l’espace. Pour un opérateur défini dans un espace de Hilbert de