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2 • Opérateurs linéaires
Remarque : Alors que dans un espace de Hilbert de dimension finie N, tout
système orthonormé de N vecteurs est une base orthonormée, dans un espace
de dimension infinie, un système orthonormé comportant un nombre infini de
vecteurs n’est pas nécessairement une base orthonormée.
À titre d’exemple, considérons un système orthonormé total {w j } ; il suffit d’enlever un ou plusieurs vecteurs w j au système total pour avoir un système non total mais
qui contient cependant toujours un nombre infini de vecteurs.
b) Égalité de Parseval
On démontre que la définition (2.4.8) entraîne l’égalité :
f , g =
∞
j=0
f , w j w j , g
(2.4.9)
où f et g sont des vecteurs de H . C’est l’expression classique du produit scalaire de
deux vecteurs quelconques pour un espace de dimension finie, la sommation étant
alors finie. Si f = g, l’expression précédente devient l’égalité de Parseval :
f
2 =
∞
j=0
||w j , f |
2
(2.4.10)
Réciproquement, si cette égalité est vérifiée, on en déduit que tout vecteur f de H
peut être développé sous la forme (2.4.8). On peut donc partir de l’égalité de Parseval
pour définir une base orthonormée d’un espace de Hilbert. D’autres définitions équivalentes
¾ peuvent également être données. La définition (2.4.8) ne prouve évidemment pas qu’il existe une base orthonormée dans tout espace de Hilbert de dimension
infinie ; il en est certains pour lesquels il n’y en a pas.
En ce qui concerne les espaces de fonctions L
2 (D ), ils possèdent tous des bases
orthonormées.
2.4.4 Distributions propres
Certains opérateurs définis dans L
2 (D ) n’ont aucun vecteur propre mais une extension de la notion de vecteur propre à celle de distribution propre peut être faite pour
ces opérateurs. Si A est un opérateur et T a une distribution, on dira que T a est une
distribution propre de A si :
AT a = aT a
(2.4.11)
a) Opérateur Q
Considérons l’opérateur Q qui associe à une fonction c(x) de l’espace vectoriel
L
2 (R) la fonction xc(x) :
Qc(x) = xc(x)
( 2 .4.12)
2. P. BENOIST-GUEUTAL et M. COURBAGE. Mathématiques pour la physique. Tome 3. Eyrolles (1993).
2 • Opérateurs linéaires
Remarque : Alors que dans un espace de Hilbert de dimension finie N, tout
système orthonormé de N vecteurs est une base orthonormée, dans un espace
de dimension infinie, un système orthonormé comportant un nombre infini de
vecteurs n’est pas nécessairement une base orthonormée.
À titre d’exemple, considérons un système orthonormé total {w j } ; il suffit d’enlever un ou plusieurs vecteurs w j au système total pour avoir un système non total mais
qui contient cependant toujours un nombre infini de vecteurs.
b) Égalité de Parseval
On démontre que la définition (2.4.8) entraîne l’égalité :
f , g =
∞
j=0
f , w j w j , g
(2.4.9)
où f et g sont des vecteurs de H . C’est l’expression classique du produit scalaire de
deux vecteurs quelconques pour un espace de dimension finie, la sommation étant
alors finie. Si f = g, l’expression précédente devient l’égalité de Parseval :
f
2 =
∞
j=0
||w j , f |
2
(2.4.10)
Réciproquement, si cette égalité est vérifiée, on en déduit que tout vecteur f de H
peut être développé sous la forme (2.4.8). On peut donc partir de l’égalité de Parseval
pour définir une base orthonormée d’un espace de Hilbert. D’autres définitions équivalentes
¾ peuvent également être données. La définition (2.4.8) ne prouve évidemment pas qu’il existe une base orthonormée dans tout espace de Hilbert de dimension
infinie ; il en est certains pour lesquels il n’y en a pas.
En ce qui concerne les espaces de fonctions L
2 (D ), ils possèdent tous des bases
orthonormées.
2.4.4 Distributions propres
Certains opérateurs définis dans L
2 (D ) n’ont aucun vecteur propre mais une extension de la notion de vecteur propre à celle de distribution propre peut être faite pour
ces opérateurs. Si A est un opérateur et T a une distribution, on dira que T a est une
distribution propre de A si :
AT a = aT a
(2.4.11)
a) Opérateur Q
Considérons l’opérateur Q qui associe à une fonction c(x) de l’espace vectoriel
L
2 (R) la fonction xc(x) :
Qc(x) = xc(x)
( 2 .4.12)
2. P. BENOIST-GUEUTAL et M. COURBAGE. Mathématiques pour la physique. Tome 3. Eyrolles (1993).