2.4 Espaces de Hilbert
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se fait à partir d’une limite. Alors qu’une suite numérique est convergente si et seulement si elle est une suite de Cauchy, il n’en est pas de même pour une suite de
vecteurs. Toute suite de Cauchy de vecteurs ne converge pas nécessairement vers un
vecteur f de l’espace vectoriel E .
Un espace vectoriel normé E où toute suite de Cauchy converge en norme vers
une limite f de E est appelé un espace vectoriel normé complet. Les espaces L
2 (D )
sont, par exemple, des espaces complets.
c) Définition
Considérons un espace vectoriel complexe E muni d’un produit scalaire f , g et
d’une norme définie par :
f =
f , f
(2.4.6)
Un tel espace est appelé espace préhilbertien. Si de plus cet espace est complet, il est
appelé espace de Hilbert. Nous noterons par la lettre H les espaces de Hilbert.
d) Exemples d’espaces de Hilbert
Tous les espaces préhilbertiens de dimension finie sont nécessairement complets et
sont donc des espaces de Hilbert.
Les espaces L
2 (D ) munis de la norme (2.4.3) sont des espaces normés complets ; ce sont des espaces de Hilbert de dimension infinie.
2.4.3 Base orthonormée
Un système de vecteurs w j d’un espace de Hilbert H constitue un système orthonormé si l’on a :
w i , w j = d ij
(2.4.7)
Les vecteurs d’un système orthogonal sont linéairement indépendants. Lorsque le
nombre maximal de vecteurs indépendants est fini, l’espace H est de dimension finie.
Si l’on peut trouver une infinité de vecteurs linéairement indépendants, l’espace H
est dit de dimension infinie.
a) Définition d’une base orthonormée
Considérons une suite {w j } orthonormée de vecteurs de H . Nous dirons que la suite
{w j } est une base orthonormée de H si tout vecteur f de H peut s’écrire sous la
forme :
f =
∞
j=0
w j , f w j
(2.4.8)
où la convergence de la série est la convergence dans la norme de H . Les nombres
w j , f sont appelés les composantes du vecteur f . La base orthonormée {w j } est
encore appelée système orthonormé total (ou complet, mais ce dernier terme est à
éviter puisqu’il est déjà utilisé dans un autre sens).
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se fait à partir d’une limite. Alors qu’une suite numérique est convergente si et seulement si elle est une suite de Cauchy, il n’en est pas de même pour une suite de
vecteurs. Toute suite de Cauchy de vecteurs ne converge pas nécessairement vers un
vecteur f de l’espace vectoriel E .
Un espace vectoriel normé E où toute suite de Cauchy converge en norme vers
une limite f de E est appelé un espace vectoriel normé complet. Les espaces L
2 (D )
sont, par exemple, des espaces complets.
c) Définition
Considérons un espace vectoriel complexe E muni d’un produit scalaire f , g et
d’une norme définie par :
f =
f , f
(2.4.6)
Un tel espace est appelé espace préhilbertien. Si de plus cet espace est complet, il est
appelé espace de Hilbert. Nous noterons par la lettre H les espaces de Hilbert.
d) Exemples d’espaces de Hilbert
Tous les espaces préhilbertiens de dimension finie sont nécessairement complets et
sont donc des espaces de Hilbert.
Les espaces L
2 (D ) munis de la norme (2.4.3) sont des espaces normés complets ; ce sont des espaces de Hilbert de dimension infinie.
2.4.3 Base orthonormée
Un système de vecteurs w j d’un espace de Hilbert H constitue un système orthonormé si l’on a :
w i , w j = d ij
(2.4.7)
Les vecteurs d’un système orthogonal sont linéairement indépendants. Lorsque le
nombre maximal de vecteurs indépendants est fini, l’espace H est de dimension finie.
Si l’on peut trouver une infinité de vecteurs linéairement indépendants, l’espace H
est dit de dimension infinie.
a) Définition d’une base orthonormée
Considérons une suite {w j } orthonormée de vecteurs de H . Nous dirons que la suite
{w j } est une base orthonormée de H si tout vecteur f de H peut s’écrire sous la
forme :
f =
∞
j=0
w j , f w j
(2.4.8)
où la convergence de la série est la convergence dans la norme de H . Les nombres
w j , f sont appelés les composantes du vecteur f . La base orthonormée {w j } est
encore appelée système orthonormé total (ou complet, mais ce dernier terme est à
éviter puisqu’il est déjà utilisé dans un autre sens).