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2 • Opérateurs linéaires
2.4 ESPACES DE HILBERT
2.4.1 Espaces des fonctions de carré intégrable
Nous utiliserons par la suite des fonctions d’onde c(q) dont l’intégrale sur leur domaine de définition D :
D
c
∗ cdq =
D
|c|
2 dq
(2.4.1)
existe. La notation q désigne l’ensemble des coordonnées de l’espace de configuration. Ces fonctions sont appelées des fonctions de carré intégrable, ou encore de
carré sommable, et peuvent constituer des espaces vectoriels notés L
2 (D ).
Ces espaces vectoriels peuvent être munis d’un produit scalaire défini par :
c, f =
D
c
∗ fdq
(2.4.2)
On vérifie aisément que cette dernière intégrale possède toutes les propriétés de définition du produit scalaire. La norme d’une vecteur de L
2 (D ) s’écrit pour une fonction c :
c =
c, c =
D
|c| 2 dq
(2.4.3)
Les espaces vectoriels munis d’une norme sont appelés des espaces vectoriels normés. Les espaces vectoriels L
2 (D ) normés constituent des exemples d’espaces de
Hilbert.
2.4.2 Définition d’un espace de Hilbert
La définition d’un espace de Hilbert nécessite l’introduction de notions sur les suites
de vecteurs convergents.
a) Convergence en norme
On dit qu’une suite { f n } de vecteurs d’un espace vectoriel normé E est convergente
en norme s’il existe un vecteur f de E tel que :
lim
n→∞
f n − f = 0
( 2 .4.4)
b) Suite de Cauchy
On dit qu’une suite { f n } de vecteurs d’un espace vectoriel normé E est une suite de
Cauchy si, quel que soit ´ > 0, il existe un nombre N(´) tel que :
f n − f m < ´ si n > m > N(´)
( 2 .4.5)
La notion de suite de Cauchy est plus générale que la notion de suite convergente en
norme. Elle indique la proximité mutuelle, aussi proche qu’on le désire, des termes
de la suite de vecteurs à partir d’un certain rang, sans préciser si cette accumulation