2.4 Matrice d’un opérateur
41
Puisqu’on a : f
= A
c
, la matrice A
a pour expression :
A
= P
−1 AP
(2.3.25)
La propriété (2.3.16) de la trace du produit de trois matrices, nous donne :
Tr A
= Tr P
−1 AP = Tr PP
−1 A = Tr A
(2.3.26)
La trace d’une matrice représentant un opérateur est indépendante de la base choisie
de l’espace vectoriel E servant à déterminer cette matrice.
2.3.5 Matrices particulières
a) Matrice définissant une fonction d’opérateur
Soit un opérateur A ayant un spectre de valeurs propres a 1 , a 2 , ..., a n associées respectivement aux vecteurs propres c 1 , c 2 , ..., c n . La relation (2.2.16), à savoir :
F(A)c k = F(a k )c k
(2.3.27)
montre que c k est également un vecteur propre, associé à la valeur propre F(a k ), de
l’opérateur F(A). On va utiliser cette propriété pour définir d’une autre manière une
fonction d’un opérateur A.
Pour cela, notons que la matrice d’un opérateur A, calculée sur sa base propre, est
une matrice diagonale. En conséquence, si l’on se donne une fonction F(x), on peut
former une matrice diagonale d’éléments F(a k ). Par définition, l’opérateur F(A) est
alors l’opérateur représenté dans la base propre par la matrice d’éléments F(a k ).
b) Matrice de la dérivée d’un opérateur
Soit A un opérateur dépendant d’un paramètre a. Déterminons la matrice de l’opérateur dA/da en fonction de la matrice A représentant l’opérateur A. Les éléments
matriciels de A, sur une base {w j } indépendante de a, sont de la forme :
a ij = w i , Aw j
(2.3.28)
L’opérateur dA/da appliqué à un vecteur w j nous donne :
dA
da
w j =
d
da
(Aw j )
( 2 .3.29)
Les éléments matriciels de la matrice, notée dA/da, représentant l’opérateur dA/da,
sont donnés par :
dA
da
ij
=
w i ,
dA
da
w j
=
d
da
w i , Aw j =
d
da
a ij
(2.3.30)
Les éléments matriciels de dA/da sont les dérivées, par rapport à a, des éléments de
la matrice A.
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Puisqu’on a : f
= A
c
, la matrice A
a pour expression :
A
= P
−1 AP
(2.3.25)
La propriété (2.3.16) de la trace du produit de trois matrices, nous donne :
Tr A
= Tr P
−1 AP = Tr PP
−1 A = Tr A
(2.3.26)
La trace d’une matrice représentant un opérateur est indépendante de la base choisie
de l’espace vectoriel E servant à déterminer cette matrice.
2.3.5 Matrices particulières
a) Matrice définissant une fonction d’opérateur
Soit un opérateur A ayant un spectre de valeurs propres a 1 , a 2 , ..., a n associées respectivement aux vecteurs propres c 1 , c 2 , ..., c n . La relation (2.2.16), à savoir :
F(A)c k = F(a k )c k
(2.3.27)
montre que c k est également un vecteur propre, associé à la valeur propre F(a k ), de
l’opérateur F(A). On va utiliser cette propriété pour définir d’une autre manière une
fonction d’un opérateur A.
Pour cela, notons que la matrice d’un opérateur A, calculée sur sa base propre, est
une matrice diagonale. En conséquence, si l’on se donne une fonction F(x), on peut
former une matrice diagonale d’éléments F(a k ). Par définition, l’opérateur F(A) est
alors l’opérateur représenté dans la base propre par la matrice d’éléments F(a k ).
b) Matrice de la dérivée d’un opérateur
Soit A un opérateur dépendant d’un paramètre a. Déterminons la matrice de l’opérateur dA/da en fonction de la matrice A représentant l’opérateur A. Les éléments
matriciels de A, sur une base {w j } indépendante de a, sont de la forme :
a ij = w i , Aw j
(2.3.28)
L’opérateur dA/da appliqué à un vecteur w j nous donne :
dA
da
w j =
d
da
(Aw j )
( 2 .3.29)
Les éléments matriciels de la matrice, notée dA/da, représentant l’opérateur dA/da,
sont donnés par :
dA
da
ij
=
w i ,
dA
da
w j
=
d
da
w i , Aw j =
d
da
a ij
(2.3.30)
Les éléments matriciels de dA/da sont les dérivées, par rapport à a, des éléments de
la matrice A.