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2 • Opérateurs linéaires
La base {w kj } est appelée la base propre de l’opérateur A. Utilisons cette base pour
calculer les éléments matriciel de A. Pour cela, remarquons que les vecteurs orthonormés w kj sont au nombre de N =
n
k=1
g k . Renumérotons ces vecteurs avec un seul
indice, soit w i où l’indice varie de 1 à N. Les éléments matriciels de A sont alors
donnés par :
a ij = w i , Aw j = w i , a j w j = a j w i , w j = a j d ij
(2.3.19)
La matrice représentative de A ne possède alors que des éléments non nuls sur sa diagonale principale et ces éléments sont les valeurs propres de A ; une telle matrice est
dite matrice diagonale. Remarquons que a j figure g j fois sur la diagonale principale.
➤ Opérateurs hermitiens qui commutent
Soient A et B deux opérateurs hermitiens qui commutent. Notons c 1 et c 2 deux
vecteurs propres de A associés respectivement à des valeurs propres différentes,
a 1 = a 2 . Ces vecteurs propres sont orthogonaux entre eux et peuvent faire partie
d’une base propre. Alors l’élément de matrice c 1 , Bc 2 est nul :
c 1 , Bc 2 = 0
( 2 .3.20)
En effet, puisque A et B commutent, Bc 2 appartient au sous-espace E 2 formé par les
vecteurs propres de A associés à la valeur propre a 2 . Si c 1 est un élément d’une base
propre, il est orthogonal aux vecteurs de E 2 et, par suite, Bc 2 est orthogonal à c 1 .
Le produit scalaire c 1 , Bc 2 est donc nul.
2.3.4 Changement de base
Soit un espace vectoriel E de base {w i } et soit une nouvelle base {w
j } telle que :
w
j =
i
P ij w i
(2.3.21)
Les P ij sont les éléments de la matrice P de changement de base. Soit A un opérateur
linéaire qui, agissant sur un vecteur c de E , donne :
f = Ac
(2.3.22)
Soit A la matrice représentant l’opérateur A dans la base {w i } et soit A
dans {w
j }.
Cherchons l’expression de la matrice A
en fonction de A. Pour cela, notons c et f
les matrices colonnes formées respectivement par les composantes des vecteurs c et
f dans la base {w i }, et c
, f
, dans la base {w
j }. On a : f = Ac ; c = Pc
; f = Pf
;
d’où :
f = APc
= Pf
(2.3.23)
Multipliant à gauche par la matrice P
−1 les deux derniers termes de (2.3.23), on
obtient :
f
= P
−1 APc
(2.3.24)
2 • Opérateurs linéaires
La base {w kj } est appelée la base propre de l’opérateur A. Utilisons cette base pour
calculer les éléments matriciel de A. Pour cela, remarquons que les vecteurs orthonormés w kj sont au nombre de N =
n
k=1
g k . Renumérotons ces vecteurs avec un seul
indice, soit w i où l’indice varie de 1 à N. Les éléments matriciels de A sont alors
donnés par :
a ij = w i , Aw j = w i , a j w j = a j w i , w j = a j d ij
(2.3.19)
La matrice représentative de A ne possède alors que des éléments non nuls sur sa diagonale principale et ces éléments sont les valeurs propres de A ; une telle matrice est
dite matrice diagonale. Remarquons que a j figure g j fois sur la diagonale principale.
➤ Opérateurs hermitiens qui commutent
Soient A et B deux opérateurs hermitiens qui commutent. Notons c 1 et c 2 deux
vecteurs propres de A associés respectivement à des valeurs propres différentes,
a 1 = a 2 . Ces vecteurs propres sont orthogonaux entre eux et peuvent faire partie
d’une base propre. Alors l’élément de matrice c 1 , Bc 2 est nul :
c 1 , Bc 2 = 0
( 2 .3.20)
En effet, puisque A et B commutent, Bc 2 appartient au sous-espace E 2 formé par les
vecteurs propres de A associés à la valeur propre a 2 . Si c 1 est un élément d’une base
propre, il est orthogonal aux vecteurs de E 2 et, par suite, Bc 2 est orthogonal à c 1 .
Le produit scalaire c 1 , Bc 2 est donc nul.
2.3.4 Changement de base
Soit un espace vectoriel E de base {w i } et soit une nouvelle base {w
j } telle que :
w
j =
i
P ij w i
(2.3.21)
Les P ij sont les éléments de la matrice P de changement de base. Soit A un opérateur
linéaire qui, agissant sur un vecteur c de E , donne :
f = Ac
(2.3.22)
Soit A la matrice représentant l’opérateur A dans la base {w i } et soit A
dans {w
j }.
Cherchons l’expression de la matrice A
en fonction de A. Pour cela, notons c et f
les matrices colonnes formées respectivement par les composantes des vecteurs c et
f dans la base {w i }, et c
, f
, dans la base {w
j }. On a : f = Ac ; c = Pc
; f = Pf
;
d’où :
f = APc
= Pf
(2.3.23)
Multipliant à gauche par la matrice P
−1 les deux derniers termes de (2.3.23), on
obtient :
f
= P
−1 APc
(2.3.24)