2.3 Matrice d’un opérateur
39
➤ Matrices adjointe et hermitienne
Soit A un opérateur linéaire et A
† son adjoint. Déterminons les éléments matriciels,
notés (a
† ) kj , de la matrice de A
† en fonction de ceux de A. On a :
a
∗
jk = w j , Aw k
∗ = Aw k , w j = w k , A
† w j = (A
† ) kj
(2.3.12)
La matrice de A
† est la transposée de la matrice conjuguée de A ; elle est appelée la
matrice adjointe de la matrice A et notée A
† .
Si l’opérateur A est hermitien, les éléments de la matrice A sont tels que :
(A
† ) kj = a
∗
jk = a kj
(2.3.13)
puisque A
† = A. Une matrice dont les éléments vérifient la relation a kj = a
∗
jk est une
matrice hermitienne. Ses éléments a jj situés sur la diagonale principale de la matrice
sont nécessairement réels.
➤ Trace d’une matrice
La somme des éléments situés sur la diagonale principale d’une matrice est appelée
sa trace :
Tr A =
k
a kk
(2.3.14)
La trace du produit de deux matrices ne dépend pas de l’ordre des facteurs. En effet :
Tr AB =
j,k
a jk b kj =
j,k
b kj a jk = Tr BA
(2.3.15)
Pour un produit de trois matrices, on obtient :
Tr ABC = Tr CAB = Tr BCA
(2.3.16)
2.3.3 Base propre d’un opérateur hermitien
Soient a 1 , a 2 , ..., a n les valeurs propres d’un opérateur hermitien A ; chaque a k a une
dégénérescence d’ordre g k . Les vecteurs propres c k associés à une valeur propre a k
sont linéairement indépendants et forment une base d’un espace vectoriel E k à g k
dimensions.
On peut former une base orthonormée de E k en combinant entre eux les vecteurs
propres c k par la méthode d’orthogonalisation de Schmidt. Notons w kj les vecteurs
orthonormés formant une base de E k , où l’indice j varie de 1 à g k . Ces vecteurs
vérifient la relation :
w kj , w kj = d jj
(2.3.17)
Pour des indices k différents, les vecteurs w kj sont associés à des valeurs propres
distinctes et sont donc orthogonaux entre eux, d’où :
w kj , w k j = d kk d jj
(2.3.18)
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➤ Matrices adjointe et hermitienne
Soit A un opérateur linéaire et A
† son adjoint. Déterminons les éléments matriciels,
notés (a
† ) kj , de la matrice de A
† en fonction de ceux de A. On a :
a
∗
jk = w j , Aw k
∗ = Aw k , w j = w k , A
† w j = (A
† ) kj
(2.3.12)
La matrice de A
† est la transposée de la matrice conjuguée de A ; elle est appelée la
matrice adjointe de la matrice A et notée A
† .
Si l’opérateur A est hermitien, les éléments de la matrice A sont tels que :
(A
† ) kj = a
∗
jk = a kj
(2.3.13)
puisque A
† = A. Une matrice dont les éléments vérifient la relation a kj = a
∗
jk est une
matrice hermitienne. Ses éléments a jj situés sur la diagonale principale de la matrice
sont nécessairement réels.
➤ Trace d’une matrice
La somme des éléments situés sur la diagonale principale d’une matrice est appelée
sa trace :
Tr A =
k
a kk
(2.3.14)
La trace du produit de deux matrices ne dépend pas de l’ordre des facteurs. En effet :
Tr AB =
j,k
a jk b kj =
j,k
b kj a jk = Tr BA
(2.3.15)
Pour un produit de trois matrices, on obtient :
Tr ABC = Tr CAB = Tr BCA
(2.3.16)
2.3.3 Base propre d’un opérateur hermitien
Soient a 1 , a 2 , ..., a n les valeurs propres d’un opérateur hermitien A ; chaque a k a une
dégénérescence d’ordre g k . Les vecteurs propres c k associés à une valeur propre a k
sont linéairement indépendants et forment une base d’un espace vectoriel E k à g k
dimensions.
On peut former une base orthonormée de E k en combinant entre eux les vecteurs
propres c k par la méthode d’orthogonalisation de Schmidt. Notons w kj les vecteurs
orthonormés formant une base de E k , où l’indice j varie de 1 à g k . Ces vecteurs
vérifient la relation :
w kj , w kj = d jj
(2.3.17)
Pour des indices k différents, les vecteurs w kj sont associés à des valeurs propres
distinctes et sont donc orthogonaux entre eux, d’où :
w kj , w k j = d kk d jj
(2.3.18)