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2 • Opérateurs linéaires
Les composantes d’un vecteur Aw i fournissent les éléments de la i
e colonne de
la matrice de l’opérateur A. Pour un espace vectoriel de dimension n, cette matrice
s’écrit :
A =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
a 11 a 12 ... a 1n
a 21 a 22 ... a 2n
... ... ... ...
a n1 a n2 ... a nn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(2.3.6)
On obtient une matrice carrée d’ordre n, dont les éléments sont donnés par les produits scalaires :
a ji = w j , Aw i
(2.3.7)
La matrice A représente l’opérateur A sur la base {w i } de l’espace vectoriel E . La
matrice d’un opérateur A sera notée par le même symbole A écrit en caractère droit.
2.3.2 Propriétés des matrices représentatives
Toute combinaison linéaire de deux opérateurs : C = aA + bB, a pour matrice représentative :
C = aA + bB
( 2 .3.8)
Le produit AB de deux opérateurs a pour matrice représentative le produit AB
de leurs matrices respectives. Pour le démontrer, considérons un espace vectoriel de
base {w i } ; il vient :
A(Bw i ) = A
j
b ji w j =
j
b ji Aw j =
j,k
b ji a kj w k
(2.3.9)
D’autre part, l’opérateur AB appliqué à w i s’écrit :
(AB)w i =
k
(ab) ki w k
(2.3.10)
La comparaison des relations (2.3.9) et (2.3.10) montre que les éléments matriciels
(ab) ki de la matrice représentant l’opérateur AB, sont de la forme :
(ab) ki =
j
a kj b ji
(2.3.11)
On retrouve la règle classique de multiplication des matrices, ce qui démontre que
l’opérateur AB a pour matrice représentative le produit AB des matrices respectives
de A et B. À chaque type d’opérateur va correspondre une matrice qui reflète les
mêmes propriétés que celui-ci.