2.3 Matrice d’un opérateur
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Les formules (2.2.14) et (2.2.15) donnent donc pour expression de F(A)f :
F(A)f = F(a)f
(2.2.16)
Cette dernière relation démontre la proposition énoncée. On obtient une équation
aux valeurs propres ; par suite, dans ce cas particulier, le vecteur F(A)f existe et
l’opérateur F(A) est donc bien défini.
2.3 MATRICE D’UN OPÉRATEUR
2.3.1 Définition
Les opérateurs agissant sur les vecteurs d’un espace vectoriel sont des êtres mathématiques définis indépendamment de toute base de l’espace considéré. Le choix
d’une base permet d’écrire explicitement un opérateur sous forme d’une matrice qui
constitue une représentation de celui-ci.
Soit un opérateur linéaire A qui agit sur des vecteurs c d’un espace vectoriel E
de dimension finie. Notons w i les vecteurs formant une base orthonormée de E . Un
vecteur c de E s’écrit :
c =
i
c i w i
(2.3.1)
où les c i sont les composantes de c sur la base {w i }. L’opérateur A agissant sur c
donne un vecteur transformé :
c
= Ac = A
i
c i w i =
i
c i Aw i
(2.3.2)
La décomposition des transformés Aw i des vecteurs de base s’écrit :
Aw i =
j
a ji w j
(2.3.3)
Par définition, les nombres a ji constituent les éléments de la matrice de l’opérateur A
définie sur la base {w i }. Pour calculer les éléments matriciels, effectuons le produit
scalaire des vecteurs w j et Aw i ; la relation (2.3.3) nous donne :
w j , Aw i = w j ,
k
a ki w k =
k
a ki w j , w k
(2.3.4)
La base étant orthonormée, on a : w j , w k = d jk , d’où :
w j , Aw i =
k
a ki d jk = a ji
(2.3.5)
La donnée des transformés Aw i des vecteurs de base suffit pour calculer les éléments
matriciels de l’opérateur A. La donnée des vecteurs Aw i peut également servir de
définition de l’opérateur A.