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2 • Opérateurs linéaires
Cette dernière relation montre que le vecteur Bc est également vecteur propre de A
associé à la même valeur propre l. On a alors deux cas à envisager :
• Si l est une valeur propre non dégénérée, les deux vecteurs propres c et Bc ne
diffèrent entre eux que par une constante multiplicative :
Bc = ac
(2.2.11)
L’équation (2.2.11) est une équation aux valeurs propres et le vecteur c est également vecteur propre de B.
• Si l est une valeur propre dégénérée, nous avons vu que toute combinaison linéaire
des vecteurs propres associés à l forme encore un vecteur propre. On peut donc
seulement dire que Bc appartient au sous-espace propre E l formé par les vecteurs
propres de A associés à l. On dit que le sous-espace est stable sous l’action de
l’opérateur B.
➤ Vecteurs propres orthogonaux
Soient A et B deux opérateurs hermitiens qui commutent. Notons c et f deux vecteurs propres de A associés respectivement aux valeurs propres l et m, supposées non
dégénérées et distinctes. Nous allons démontrer que Bc est orthogonal à f et Bf est
orthogonal à c.
Pour cela, utilisons la propriété (2.2.11) où Bc est un vecteur propre de A. On a
donc :
f, Bc = f, ac = af, c
(2.2.12)
Puisque c et f sont deux vecteurs propres de A associés à des valeurs propres distinctes, ces deux vecteurs sont orthogonaux et on a : f, c = 0. Selon (2.2.12), le
vecteur Bc est donc également orthogonal à f. Un raisonnement analogue montre
que Bf est orthogonal à c.
2.2.4 Fonction d’opérateur
Les fonctions d’opérateurs F(A) ont été définies par (2.1.39). Nous allons voir que si
f est un vecteur propre associé à la valeur propre a, alors f est aussi vecteur propre
de F(A) associé à la valeur propre F(a). Par hypothèse, on a :
F(A) =
∞
n=0
f n A
n ; Af = af
(2.2.13)
L’application successive de A, n fois, nous donne : A
n f = a
n f, d’où :
F(A)f =
∞
n=0
f n A
n f =
∞
n=0
f n a
n f = f
∞
n=0
f n a
n
(2.2.14)
La valeur de la fonction F(x), pour x = a, est donnée par :
F(a) =
∞
n=0
f n a
n
(2.2.15)
2 • Opérateurs linéaires
Cette dernière relation montre que le vecteur Bc est également vecteur propre de A
associé à la même valeur propre l. On a alors deux cas à envisager :
• Si l est une valeur propre non dégénérée, les deux vecteurs propres c et Bc ne
diffèrent entre eux que par une constante multiplicative :
Bc = ac
(2.2.11)
L’équation (2.2.11) est une équation aux valeurs propres et le vecteur c est également vecteur propre de B.
• Si l est une valeur propre dégénérée, nous avons vu que toute combinaison linéaire
des vecteurs propres associés à l forme encore un vecteur propre. On peut donc
seulement dire que Bc appartient au sous-espace propre E l formé par les vecteurs
propres de A associés à l. On dit que le sous-espace est stable sous l’action de
l’opérateur B.
➤ Vecteurs propres orthogonaux
Soient A et B deux opérateurs hermitiens qui commutent. Notons c et f deux vecteurs propres de A associés respectivement aux valeurs propres l et m, supposées non
dégénérées et distinctes. Nous allons démontrer que Bc est orthogonal à f et Bf est
orthogonal à c.
Pour cela, utilisons la propriété (2.2.11) où Bc est un vecteur propre de A. On a
donc :
f, Bc = f, ac = af, c
(2.2.12)
Puisque c et f sont deux vecteurs propres de A associés à des valeurs propres distinctes, ces deux vecteurs sont orthogonaux et on a : f, c = 0. Selon (2.2.12), le
vecteur Bc est donc également orthogonal à f. Un raisonnement analogue montre
que Bf est orthogonal à c.
2.2.4 Fonction d’opérateur
Les fonctions d’opérateurs F(A) ont été définies par (2.1.39). Nous allons voir que si
f est un vecteur propre associé à la valeur propre a, alors f est aussi vecteur propre
de F(A) associé à la valeur propre F(a). Par hypothèse, on a :
F(A) =
∞
n=0
f n A
n ; Af = af
(2.2.13)
L’application successive de A, n fois, nous donne : A
n f = a
n f, d’où :
F(A)f =
∞
n=0
f n A
n f =
∞
n=0
f n a
n f = f
∞
n=0
f n a
n
(2.2.14)
La valeur de la fonction F(x), pour x = a, est donnée par :
F(a) =
∞
n=0
f n a
n
(2.2.15)