2.2 Vecteurs et valeurs propres
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Pour démontrer ce théorème, considérons un opérateur hermitien A et soit c un
vecteur propre de A associé à la valeur propre l. Le produit scalaire c, Ac devient
alors :
c, Ac = c, lc = lc, c
(2.2.4)
Utilisons la propriété (2.1.9) du produit scalaire ainsi que le fait qu’on ait A = A
† ; on
obtient :
c, Ac = Ac, c
∗ = c, A
† c
∗ = c, Ac
∗
(2.2.5)
Cette dernière relation montre que c, Ac est un nombre réel. Il en est de même de
la norme c, c et, en conséquence, la relation (2.2.4) montre que l est un nombre
réel.
Théorème 2. Deux vecteurs propres d’un opérateur hermitien, correspondant à
des valeurs propres distinctes, sont orthogonaux entre eux.
Pour démontrer ce théorème, considérons deux vecteurs propres c et f d’un opérateur A, correspondant respectivement aux valeurs propres l et m. Le produit scalaire suivant :
c, Af = c, mf = mc, f
(2.2.6)
s’écrit, puisque A est hermitien et par suite de la propriété (2.1.9) :
c, Af
∗ = m
∗
c, f
∗ = m
∗
f, c = f, Ac
(2.2.7)
Ecrivons d’autre part le produit scalaire suivant :
f, Ac = f, lc = lf, c
(2.2.8)
Comparant entre elles les dernières égalités des équations (2.2.7) et (2.2.8), on obtient :
(m
∗
− l)f, c = 0
( 2 .2.9)
Puisque A est hermitien, la valeur propre m est réelle ; de plus, l et m sont par hypothèse des valeurs propres distinctes. En conséquence, (m − l) est différent de zéro.
La relation (2.2.9) montre donc que f, c = 0 et que les vecteurs propres f et c
sont orthogonaux entre eux.
La réciproque des deux propriétés ci-dessus est également vérifiée : si un opérateur a toutes ses valeurs propres réelles, et si tous les vecteurs propres associés à
des valeurs propres distinctes, pris deux à deux, sont orthogonaux entre eux, alors
l’opérateur est hermitien.
2.2.3 Opérateurs qui commutent
Soient A et B deux opérateurs qui commutent. Notons c un vecteur propre de A
associé à la valeur propre l. L’action de B sur le vecteur Ac nous donne, compte
tenu de AB = BA :
BAc = B(lc) = l(Bc) = A(Bc)
( 2 .2.10)